Zadanie 4.4.1.2
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.4. Zasada zachowania pędu
  4. 4.4.1 Nauka
  5. Zadanie 4.4.1.2

 Zadanie 4.4.1.2

Zasada zachowania pędu
Na doskonale gładkim stole leży klocek o masie \(M\). Klocek przymocowany jest do ściany za pomocą sprężyny o współczynniku sprężystości \(k\) (patrz rysunek) i zaniedbywalnie małej masie. W klocek ten uderza, lecący poziomo, pocisk i grzęźnie w nim. Prędkość pocisku przed zderzeniem wynosi \(v\), a jego masa \(m\). Wyznacz maksymalne ściśnięcie sprężyny odpowiadające chwili, w której prędkość klocka jest równa zero (punkt zwrotny).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - zasada zachowania pędu
Pęd to iloczyn masy ciała i jego prędkości wektorowej \(\vec{p}=m\,\vec{v}\).

Zasada zachowania pędu.
Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.

\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}\vec{p} }{\mathrm{d} t}=0}\)
czyli \(\vec{p}=const\)

Zasadę te można też zapisać jako:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie późniejszym.
Rysunek

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa klocka \(M\),
- masa pocisku \(m\),
- prędkość pocisku przed zderzeniem \(v\),
- współczynnik sprężystości sprężyny \(k\).

Szukane:
- wielkość ściśnięcia sprężyny \(d_{max}\).

Analiza sytuacji

Przedstawione w zadaniu zdarzenie można podzielić na dwa etapy:

  1. Zderzenie pocisku z klockiem. Klocek uzyskuje pęd, a pęd pocisku ulega zmianie.
  2. W wyniku zderzenia nowo powstały obiekt (klocek z wbitym w niego pociskiem) posiada pęd, a tym samym pewną wartość energii kinetycznej. Następnie klocek przemieszczając się, ściska sprężynę. Praca potrzebna na ściskanie sprężyny, wykonywana jest kosztem energii kinetycznej, jaką posiadał klocek wraz z pociskiem w chwili tuż po zderzeniu.
W momencie zatrzymania się klocka, cała początkowa energia kinetyczna została zamieniona na energię potencjalną sprężyny.

Etap 1

Na podstawie zasady zachowania pędu możemy zapisać:

\(M\cdot 0+mv=(M+m)\cdot u\),

gdzie \(u\) jest prędkością klocka wraz z pociskiem po zderzeniu. Skąd otrzymujemy

\(\displaystyle{u=\frac{mv}{M+m}}\)

Energia kinetyczna klocka wraz z tkwiącym w nim pociskiem, tuż po zderzeniu wynosiła:

\(\displaystyle{E_k=\frac{(M+m)\,u^2}{2}=\frac{m^2v^2}{2(M+m)}}\)

Etap 2

Cała energia kinetyczna, jaką posiadał klocek wraz z pociskiem, bezpośrednio po zderzeniu, zostaje zamieniona na energię sprężystości sprężyny. Oznaczmy przez \(d_{max}\) wielkość ściśnięcia sprężyny, czyli różnicę pomiędzy długością swobodnie leżącej sprężyny, a jej długością, gdy jest maksymalnie ściśnięta. Z prawa zachowania energii możemy napisać:

\(\displaystyle{\frac{m^2v^2}{2(M+m)}=\frac{k\,d_{max}^2}{2} }\)

\(\displaystyle{d_{max}^2=\frac{2m^2v^2}{2(M+m)k} }\)

\(\displaystyle{d_{max}=\frac{mv}{\sqrt{k\,(m+M)}} }\)

 Najczęściej popełnianym błędem przy rozwiązywaniu tego typu zadań, jest przyjmowanie, że cała energia kinetyczna pocisku zostaje zamieniona na energię potencjalną sprężystości sprężyny. Nie jest to prawda, gdyż w procesie wbijania się pocisku w klocek, część jego energii kinetycznej jest zamieniana na ciepło.  

Informacja

Poniżej przedstawiona jest animacja ilustrująca zdarzenie opisane w treści zadania. Pod obrazkiem znajduje się przycisk uruchamiający animację - niebieskie koło z białym trójkątem.

Odpowiedź

Maksymalne ściśnięcie sprężyny odpowiadające chwili, w której prędkość klocka jest równa zero, wynosi \(\displaystyle{d_{max}=\frac{mv}{\sqrt{k\,(m+M)}} }\).