Zadanie 4.4.1.7
Ruch ciała ze zmienną masą
Rakieta o masie początkowej M0 porusza się w przestrzenie kosmicznej wyrzuca spalone paliwo ze stałą szybkością dmsdt=r, nadając mu prędkość (względem rakiety) równą u. Napisz równanie różniczkowe wiążące prędkość rakiety z jej zmienną masą i znajdź jego rozwiązanie. Oblicz początkowe przyspieszenie rakiety. Przyjmij, że siły zewnętrzne działające na rakietą są równe zeru.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - zasada zachowania pędu
Zasada zachowania pędu.
Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.
Zasadę te można też zapisać jako:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie późniejszym.
Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.
d→pdt=0
czyli →p=constZasadę te można też zapisać jako:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie późniejszym.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- masa początkowa rakiety M0,
- prędkość wyrzucania spalonego paliwa dmsdt=r,
- prędkość paliwa względem rakiety u.
Szukane:
- przyspieszenie początkowe rakiety a0.
Rozwiązanie
Przy braku sił zewnętrznych, takich jak siła ciężkości i opory uchu, pęd układu złożonego z rakiety i wyrzuconych gazów musi być zachowany.

Na rysunku pokazana jest rakieta w pewnej chwili t+dt po wyrzuceniu elementarnej porcji spalonych gazów dms=rdt, w nieruchomym układzie współrzędnych. Ponieważ prędkość gazów względem rakiety wynosi u to w układzie nieruchomym, w którym rakieta porusza się z szybkością v ich prędkość wynosi v−u. Stosują zasadę zachowania pędu, mamy:
Mv=(M−dms)(v+dv)+dms(v−u)
Mv=Mv+Mdv−dmsv−dmsdv+dmsv−dmsu 0=Mdv−dmsdv−dmsu
(M−dms)dv=udms
W nawiasie po lewej stronie równania decydującym składnikiem jest masa rakiety M, toteż masę gazów wyrzucanych w czasie dt można pominąć
Mdv=udms
Dzieląc otrzymane równanie obustronnie przez dt i M otrzymujemy wzór na przyspieszenie rakiety
a=dvdt=uMdmsdt=urM
W uzyskanym wzorze M jest masą rakiety, która zmienia się w czasie. W związku z tym przyspieszenie a będzie również zależne od czasu.
Przyspieszenie początkowe rakiety będzie wynosić:
a0=urM0,
ponieważ masa rakiety na początku wynosiła M0.
Równanie różniczkowe wiążące szybkość rakiety z jej zmienną masa otrzymujemy po skorzystaniu ze związku dms=−dM, czyli z tego, że elementarna ilość wyrzuconych gazów równa się przyrostowi masy rakiety ze znakiem minus.
Mdv=udms
Mdv=−udM
dv=−udMM
Po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków początkowych (dla t=0, M=M0 i v=0 ), otrzymujemy:
∫dv=−u∫dMM v=−ulnM+C Z warunków początkowych mamy 0=−ulnM0+C C=ulnM0 v=−ulnM+ulnM0
v=ulnM0M
Prędkość możemy wyrazić jako funkcję czasu. W tym celu należy znaleźć zależność masy rakiety od czasu.
dM=−rdt
Po scałkowaniu otrzymujemy
M=−rt+C
gdzie C jest stałą, która z warunków początkowych (M0=−r⋅0+C) wynosi M0).
M=−rt+M0
Teraz równane na prędkość ma postać
v=ulnM0M0−rt
Odpowiedź
Rozwiązanie równania różniczkowego, wiążącego prędkość rakiety z jej zmienną masą wynosi v=ulnM0M0−rt. Przyspieszenie początkowe rakiety wynosić a0=urM0.