Rozwiązanie

Przy braku sił zewnętrznych, takich jak siła ciężkości i opory uchu, pęd układu złożonego z rakiety i wyrzuconych gazów musi być zachowany.

Na rysunku pokazana jest rakieta w pewnej chwili $t+\mathrm{d} t$ po wyrzuceniu elementarnej porcji spalonych gazów $\mathrm{d}m_s=r\mathrm{d} t$, w nieruchomym układzie współrzędnych. Ponieważ prędkość gazów względem rakiety wynosi $u$ to w układzie nieruchomym, w którym rakieta porusza się z szybkością $v$ ich prędkość wynosi $v-u$. Stosują zasadę zachowania pędu, mamy:


 Przekształcenia   $$Mv=Mv+M\mathrm{d}v-\mathrm{d}m_sv-\mathrm{d}m_s\mathrm{d}v+\mathrm{d}m_sv-\mathrm{d}m_su$$ $$0=M\mathrm{d}v-\mathrm{d}m_s\mathrm{d}v-\mathrm{d}m_su$$  

W nawiasie po lewej stronie równania decydującym składnikiem jest masa rakiety $M$, toteż masę gazów wyrzucanych w czasie $\mathrm{d}t$ można pominąć


Dzieląc otrzymane równanie obustronnie przez $\mathrm{d}t$ i $M$ otrzymujemy wzór na przyspieszenie rakiety


W uzyskanym wzorze $M$ jest masą rakiety, która zmienia się w czasie. W związku z tym przyspieszenie $a$ będzie również zależne od czasu.
Przyspieszenie początkowe rakiety będzie wynosić:


ponieważ masa rakiety na początku wynosiła $M_0$.
Równanie różniczkowe wiążące szybkość rakiety z jej zmienną masa otrzymujemy po skorzystaniu ze związku $\mathrm{d}m_s=-\mathrm{d}M$, czyli z tego, że elementarna ilość wyrzuconych gazów równa się przyrostowi masy rakiety ze znakiem minus.


Po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków początkowych (dla $t=0$, $M=M_0$ i $v=0$ ), otrzymujemy:

 Przekształcenia   $$\displaystyle{\int\mathrm{d}v=-u\int\frac{\mathrm{d}M}{M} }$$ $$v=-u\,\ln M+C$$ Z warunków początkowych mamy $$0=-u\,\ln M_0+C$$ $$C=u\,\ln M_0$$ $$v=-u\,\ln M+u\,\ln M_0$$  

Prędkość możemy wyrazić jako funkcję czasu. W tym celu należy znaleźć zależność masy rakiety od czasu.


Po scałkowaniu otrzymujemy


gdzie $C$ jest stałą, która z warunków początkowych $(M_0=-r\cdot 0+C$) wynosi $M_0)$.


Teraz równane na prędkość ma postać