Processing math: 100%
Zadanie 4.4.1.7

 Zadanie 4.4.1.7

Ruch ciała ze zmienną masą
Rakieta o masie początkowej M0 porusza się w przestrzenie kosmicznej wyrzuca spalone paliwo ze stałą szybkością dmsdt=r, nadając mu prędkość (względem rakiety) równą u. Napisz równanie różniczkowe wiążące prędkość rakiety z jej zmienną masą i znajdź jego rozwiązanie. Oblicz początkowe przyspieszenie rakiety. Przyjmij, że siły zewnętrzne działające na rakietą są równe zeru.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - zasada zachowania pędu
Zasada zachowania pędu.
Pęd zamkniętego układu ciał nie zmienia się z upływem czasu.

dpdt=0
czyli p=const

Zasadę te można też zapisać jako:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał w dowolnym momencie późniejszym.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa początkowa rakiety M0,
- prędkość wyrzucania spalonego paliwa dmsdt=r,
- prędkość paliwa względem rakiety u.

Szukane:
- przyspieszenie początkowe rakiety a0.

Rozwiązanie

Przy braku sił zewnętrznych, takich jak siła ciężkości i opory uchu, pęd układu złożonego z rakiety i wyrzuconych gazów musi być zachowany.

Rysunek


Na rysunku pokazana jest rakieta w pewnej chwili t+dt po wyrzuceniu elementarnej porcji spalonych gazów dms=rdt, w nieruchomym układzie współrzędnych. Ponieważ prędkość gazów względem rakiety wynosi u to w układzie nieruchomym, w którym rakieta porusza się z szybkością v ich prędkość wynosi vu. Stosują zasadę zachowania pędu, mamy:

Mv=(Mdms)(v+dv)+dms(vu)

Mv=Mv+Mdvdmsvdmsdv+dmsvdmsu 0=Mdvdmsdvdmsu
(Mdms)dv=udms

W nawiasie po lewej stronie równania decydującym składnikiem jest masa rakiety M, toteż masę gazów wyrzucanych w czasie dt można pominąć

Mdv=udms

Dzieląc otrzymane równanie obustronnie przez dt i M otrzymujemy wzór na przyspieszenie rakiety

a=dvdt=uMdmsdt=urM

W uzyskanym wzorze M jest masą rakiety, która zmienia się w czasie. W związku z tym przyspieszenie a będzie również zależne od czasu.
Przyspieszenie początkowe rakiety będzie wynosić:

a0=urM0,

ponieważ masa rakiety na początku wynosiła M0.
Równanie różniczkowe wiążące szybkość rakiety z jej zmienną masa otrzymujemy po skorzystaniu ze związku dms=dM, czyli z tego, że elementarna ilość wyrzuconych gazów równa się przyrostowi masy rakiety ze znakiem minus.

Mdv=udms

Mdv=udM

dv=udMM

Po scałkowaniu i uwzględnieniu warunków początkowych (dla t=0, M=M0 i v=0 ), otrzymujemy:

dv=udMM v=ulnM+C Z warunków początkowych mamy 0=ulnM0+C C=ulnM0 v=ulnM+ulnM0
v=ulnM0M

Prędkość możemy wyrazić jako funkcję czasu. W tym celu należy znaleźć zależność masy rakiety od czasu.

dM=rdt

Po scałkowaniu otrzymujemy

M=rt+C

gdzie C jest stałą, która z warunków początkowych (M0=r0+C) wynosi M0).

M=rt+M0

Teraz równane na prędkość ma postać

v=ulnM0M0rt

Odpowiedź

Rozwiązanie równania różniczkowego, wiążącego prędkość rakiety z jej zmienną masą wynosi v=ulnM0M0rt. Przyspieszenie początkowe rakiety wynosić a0=urM0.