Zadanie 4.5.1.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.5. Pole grawitacyjne
  4. 4.5.1 Nauka
  5. Zadanie 4.5.1.1

 Zadanie 4.5.1.1

Prędkość ucieczki poza Układ Słoneczny
Oblicz prędkość ucieczki \(v_{III}\) z powierzchni Ziemi poza Układ Słoneczny. Promień Ziemi \(R_Z=6371\,\mathrm{km}\), przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi \(\displaystyle{g=9,8\mathrm{\frac{m}{s^2} } }\) oraz promień orbity Ziemi \(R_Z=150\,\mathrm{mln\,km}\), okres obiegu Ziemi wokół Słońca oszacuj na podstawie długości roku czyli \(365,265\) dni. Pomiń oddziaływanie z innymi planetami Układu Słonecznego.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - prędkoci ucieczki
Definicje prędkości kosmicznych

I prędkość kosmiczna (tzw. prędkość kołowa) to najmniejsza prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby mógł on orbitować wokół Ziemi lub innego ciała kosmicznego, np. innej planety w naszym układzie
słonecznym.

II prędkość kosmiczna zwana prędkością ucieczki jest najmniejszą prędkością, z jaką należy wystrzelić rakietę z powierzchni Ziemi, aby uciekła ona z pola grawitacyjnego planety.

III prędkość kosmiczna jest najmniejszą prędkością początkową, przy której ciało, rozpoczynając ruch w pobliżu Ziemi lub innego ciała Układu Słonecznego, przezwycięży przyciąganie całego Układu (w szczególności Słońca) i go opuści.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

I prędkość kosmiczna

Pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć przyrównując siłę odśrodkową, działając na satelitę o masie \(m\) na orbicie kołowej o promieniu zbliżonym do promienia Ziemi \(R_Z\) z siłą przyciągania grawitacyjnego, której źródłem jest Ziemia o masie \(M_Z\).

\(\displaystyle{\frac{mv_I^2}{R_Z}=G\frac{mM_Z}{R_Z^2} }\)

\(R_Z v_I^2=GM_Z \)

\(\displaystyle{\sqrt{\frac{GM_Z}{R_Z}}=\sqrt{\frac{GM_ZR_Z}{R_Z^2}} }\)

\(v_I=\sqrt{gR_Z} \)

\(\displaystyle{v_I=7,9\,\mathrm{\frac{km}{s}}}\)

II prędkość kosmiczna

Prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi można prosto policzyć korzystając z zasady zachowania energii.

Energia całkowita rakiety poza polem grawitacyjnym Ziemi ma wynosić zero. Energia całkowita jest zachowana, a więc musi się zerować i na powierzchni Zimi. \[\displaystyle{-G\frac{mM_z}{R_z}+\frac{mv_{II}^2}{2}=0 }\] \[\displaystyle{v_{II}=\sqrt{\frac{2GM_Z}{R_z}}=\sqrt{2gR_Z}=v_I\sqrt{2} }\] \[\displaystyle{v_{II}=11,2\,\mathrm{\frac{km}{s}} }\]

Dane i szukane

Dane:
- promień Ziemi \(R_Z=6371\,\mathrm{km}\),
- przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi \(\displaystyle{g=9,8\mathrm{\frac{m}{s^2} } }\),
- promień orbity Ziemi \(R_{or}=150\,\mathrm{mln\,km}=1,5\cdot 10^{11}\,\mathrm{m}\),
- okres obiegu Ziemi wokół Słońca \(T=365,265\,\mathrm{dni}=3,15589\cdot 10^7\,\mathrm{s} \).

Szukane:
- prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi poza Układ Słoneczny \(v_{III}\).

Analiza sytuacji

Pokonanie energii potencjalnej oddziaływania ciała z Ziemią i Słońcem wymaga dostatecznie dużej energii kinetycznej ciała.

Prędkość ucieczki z pola grawitacyjnego Słońca liczymy dla ciała znajdującego się na Ziemi. Na początek zakładamy, że ciało o masie \(m\) znajduje się samotnie w odległości \(R_0\) od Słońca równej promieniowi orbity Ziemi. Energia kinetyczna ciała powinna być równa bezwzględnej wartości energii potencjalnej pochodzącej od Słońca.

\(\displaystyle{\frac{mv_{IIS}^2}{2}=G\frac{mM_S}{R_0} }\)

 

\(\displaystyle{v_{IIS}^2=2G\frac{M_S}{R_0} }\)

 

\(\displaystyle{v_{IIS}=\sqrt{2G\frac{M_S}{R_0}} }\)


Podobnie, jak w przypadku wyznaczania prędkości ucieczki z pola grawitacyjnego Ziemi tak i teraz możemy zapisać, że

\(\displaystyle{v_{IIS}=v_o\sqrt{2}}\)

gdzie \(v_o\) jest prędkością orbitalną Ziemi.

Prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi można prosto policzyć korzystając z zasady zachowania energii. Zapiszmy równanie energii wykorzystując fakt, że ciało na Ziemi ma już prędkość \(V_o\). W tym przypadku, o pokonania  pola grawitacyjnego Słońca wystarczy prędkość równa \(v_{IIS}-v_o\), przy założeniu, że prędkość wystrzału ciała jest równoległa do prędkości orbitalnej Ziemi.

\(\displaystyle{\frac{mv_{III}^2}{2}=\frac{m(v_{IIS}-v_o)^2}{2}+\frac{mv_{II}^2}{2} }\)


Lewa strona równania jest równa całkowitej energii kinetycznej ciała startującego z Ziemi. Wyrazy z prawej strony oznaczają odpowiednio energię kinetyczną potrzebną do ucieczki z pola grawitacyjnego Słońca oraz energię potrzebną do ucieczki z pola grawitacyjnego Ziemi.

Rozwiązanie

Przekształcając wyprowadzone równanie otrzymujemy

\(\displaystyle{v_{III}^2=(v_{IIS}-v_o)^2+v_{II}^2 }\)

\(\displaystyle{v_{III}^2=(v_o \sqrt{2}-v_o)^2+v_{II}^2 }\)

\(\displaystyle{v_{III}=\sqrt{v_o^2(\sqrt{2}-1)^2+v_{II}^2} }\)

Prędkość w ruchu po okręgu wynosi:
\(\displaystyle{v_o=\frac{2\pi R_{or}}{T} }\)

\(\displaystyle{v_o=\frac{2\pi\cdot 1,5\cdot 10^{11}}{3,15589\cdot 10^7} }\)

\(\displaystyle{v_o=29,8\,\mathrm{\frac{km}{s}} }\)

Prędkość orbitalna Ziemi wynosi więc \(\displaystyle{v_o=29,8\,\mathrm{\frac{km}{s}} }\). Wiemy również, że \(\displaystyle{v_{II}=11,2\,\mathrm{\frac{km}{s}} }\), mamy:

\(\displaystyle{v_{III}=\sqrt{29,8^2\cdot (\sqrt{2}-1)^2+11,2^2} }\)

\(\displaystyle{v_{III}=16,7\,\mathrm{\frac{km}{s}} }\)

Odpowiedź

Prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi poza Układ Słoneczny wynosi \(\displaystyle{v_{III}=16,7\,\mathrm{\frac{km}{s}} }\).