Zadanie 4.5.1.2
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.5. Pole grawitacyjne
  4. 4.5.1 Nauka
  5. Zadanie 4.5.1.2

 Zadanie 4.5.1.2

Wyznaczenie masy Księżyca

Moduł lądownika statku Apollo 13 Księżyca okrąża go w czasie \(T=134,7\,\mathrm{min}\) krążąc na orbicie \(R=2000\,\mathrm{km}\). Oblicz na tej podstawie masę Księżyca.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - prawo grawitacji
Prawo grawitacji Newtona.
Jeżeli w przestrzeni umieścimy pewna masę \(M\) (źródło pola grawitacyjnego), to wprowadzając w dowolne miejsce tej przestrzeni inną masę \(m\) w odległości \(r\), stwierdzamy, że na wprowadzoną masę będzie działać siła przyciągania o wartości opisanej prawem grawitacji Newtona:

\(\displaystyle{F=G\frac{Mm}{r^2} }\)

skierowana do źródła pola grawitacyjnego. Współczynnik proporcjonalności \(\displaystyle{G=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} }\) nazywamy stałą grawitacji.
Powyższy wzór jest prawdziwy dla mas punktowych i mas kulistosymetrycznych.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- okres obiegu krążownika po orbicie Księżyca \(T=134,7\,\mathrm{min}=8,022\cdot 10^3\,\mathrm{s}\),
- promień orbity modułu lądownika \(R=2000\,\mathrm{km}=2\cdot 10^6\,\mathrm{m} \),
- stała grawitacyjna \(\displaystyle{G=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} }\).

Szukane:
- masa Księżyca \(M_K\).

Analiza sytuacji

Okres obiegu zależy od siły grawitacji oddziaływającej na moduł lądownika. Siła grawitacji działająca ze strony Księżyca na moduł lądownika o masie \(m\) wynosi.

\(\displaystyle{F=G\frac{M_K\,m}{R^2} }\)

Siła dośrodkowa działająca na moduł poruszający się po orbicie kołowej obliczamy następująco

\(\displaystyle{F_d=\frac{v^2}{R}m=\frac{\left ( \frac{2\pi R}{T} \right )^2}{R}m=\frac{4\pi^2 R}{T^2}m }\)

Po porównaniu tych dwóch siła otrzymujemy

\(\displaystyle{G\frac{M_K\,m}{R^2}=\frac{4\pi^2 R}{T^2}m }\)

Rozwiązanie

Otrzymane równanie przekształcamy do postaci

\(\displaystyle{G\frac{M_K}{R^2}=\frac{4\pi^2R}{T^2} }\)

\(\displaystyle{M_K=\frac{4\pi^2 R^3}{T^2 G} }\)

I po podstawieniu wartości liczbowych mamy:

\(\displaystyle{M_K=\frac{4\pi^2 (2\cdot 10^6)^3}{(8,022\cdot 10^3 )^2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}} }\)

\(\displaystyle{\mathrm{\frac{m^3kg^2}{Nm^2s^2}=\frac{m\,kg^2}{N\,s^2}=\frac{m\,kg^2}{kg\,\frac{m}{s^2}\,s^2}=kg }}\)

\(M_K=7,35\cdot 10^{22}\,\mathrm{kg}\)

Ten sam wynik można otrzymać na podstawie analizy wyprowadzenia pierwszej prędkości kosmicznej

\(\displaystyle{v_I=\sqrt{gR}=\sqrt{g\frac{M}{R}} }\)

Obliczając niezależnie prędkość lądownika otrzymamy

\(\displaystyle{v=\frac{2\pi R}{T}}\)
Po porównaniu obu prędkości mamy

\(\displaystyle{\frac{2\pi R}{T}=\sqrt{g\frac{M}{R}} }\)

Po przekształceniach otrzymamy taką sama zależność jak poprzednio

\(\displaystyle{M_K=\frac{4\pi^2 R^3}{T^2 G} }\)

Odpowiedź

Masa Księżyca wynosi \(M_K=7,35\cdot 10^{22}\,\mathrm{kg}\).