Zadanie 4.5.1.3
Wskazówka teoretyczna
Jeżeli w przestrzeni umieścimy pewna masę M (źródło pola grawitacyjnego), to wprowadzając w dowolne miejsce tej przestrzeni inną masę m w odległości r, stwierdzamy, że na wprowadzoną masę będzie działać siła przyciągania o wartości opisanej prawem grawitacji Newtona:
skierowana do źródła pola grawitacyjnego. Współczynnik proporcjonalności G=6,67⋅10−11m3kgs2 nazywamy stałą grawitacji.
Powyższy wzór jest prawdziwy dla mas punktowych i mas kulistosymetrycznych.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- średnia gęstość Ziemi ρ=5gcm3=5⋅103kgm3,
- obwód Ziemi Obw=40000km=4⋅107m,
- przyspieszenie ziemskie g=10ms2.
Szukane:
- wartość stałej grawitacji G.
Analiza sytuacji
Ciężar ciała jest wyrażany przez iloczyn jego masy i przyspieszenia grawitacyjnego. Wartość tą należy porównać z podaną przez Newtona zależnością na siłę grawitacyjną. Newton założył, a później udowodnił, że Ziemię można traktować, jak masę punktową zgromadzoną w jej środku.
Tak więc porównajmy ciężar na powierzchni Ziemi z siłą grawitacji
Po przekształceniu powyższej zależności otrzymujemy
Obliczony na podstawie obwodu promień Ziemi wynosi RZ=Obw2π, natomiast masa to objętość kuli pomnożona przez gęstość MZ=43πR3Zρ. Po podstawieniu otrzymujemy:
G=gR2Z43πR3Zρ G=3g4πρRZ G=3g4πρObw2π
Stała grawitacji ma wymiar
Jak widać wymiar się zgadza.
Rozwiązanie
Po podstawieniu wartości otrzymujemy wartość szacowaną
Rzeczywista wartość stałej grawitacyjnej, zmierzona po raz pierwszy przez Henry'ego Cavendish'a, wynosi
Otrzymana oszacowana wartość różni się od rzeczywistej o około 11%.
Odpowiedź
Szacowana w ten sposób wartość stałej grawitacji wynosi G=7,5⋅10−11[Nm2kg2].