Zadanie 4.5.1.3
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.5. Pole grawitacyjne
  4. 4.5.1 Nauka
  5. Zadanie 4.5.1.3

 Zadanie 4.5.1.3

Stała grawitacji
Oszacuj, tak jak to zrobił Newton, stałą grawitacji \(G\). Załóż, że gęstość średnia Ziemi wynosi \(\displaystyle{\rho=5\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}} }\), obwód naszej planety \(Obw=40\,000\,\mathrm{km}\), a przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - prawo grawitacji
Prawo grawitacji Newtona.
Jeżeli w przestrzeni umieścimy pewna masę \(M\) (źródło pola grawitacyjnego), to wprowadzając w dowolne miejsce tej przestrzeni inną masę \(m\) w odległości \(r\), stwierdzamy, że na wprowadzoną masę będzie działać siła przyciągania o wartości opisanej prawem grawitacji Newtona:

\(\displaystyle{F=G\frac{Mm}{r^2} }\)

skierowana do źródła pola grawitacyjnego. Współczynnik proporcjonalności \(\displaystyle{G=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} }\) nazywamy stałą grawitacji.
Powyższy wzór jest prawdziwy dla mas punktowych i mas kulistosymetrycznych.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- średnia gęstość Ziemi \(\displaystyle{\rho=5\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}=5\cdot 10^3\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}} }\),
- obwód Ziemi \(Obw=40\,000\,\mathrm{km}=4\cdot 10^7\,\mathrm{m}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- wartość stałej grawitacji \(G\).

Analiza sytuacji

Ciężar ciała jest wyrażany przez iloczyn jego masy i przyspieszenia grawitacyjnego. Wartość tą należy porównać z podaną przez Newtona zależnością na siłę grawitacyjną. Newton założył, a później udowodnił, że Ziemię można traktować, jak masę punktową zgromadzoną w jej środku.

Tak więc porównajmy ciężar na powierzchni Ziemi z siłą grawitacji

\(\displaystyle{mg=G\frac{M_Z m}{R_Z^2} }\)


Po przekształceniu powyższej zależności otrzymujemy

\(\displaystyle{G=g\frac{R_Z^2}{M_Z} }\)

 Obliczony na podstawie obwodu promień Ziemi wynosi \(\displaystyle{R_Z=\frac{Obw}{2\pi} }\), natomiast masa to objętość kuli pomnożona przez gęstość \(\displaystyle{M_Z=\frac{4}{3}\pi R_Z^3\rho }\). Po podstawieniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{G=g\frac{R_Z^2}{M_Z} }\)


 \[\displaystyle{G=g\frac{R_Z^2}{\frac{4}{3}\pi R_Z^3\rho} }\] \[\displaystyle{G=\frac{3g}{4\pi\rho R_Z} }\] \[\displaystyle{G=\frac{3g}{4\pi\rho \frac{Obw}{2\pi}} }\] 

\(\displaystyle{G=\frac{3g}{2\rho\,Obw} }\)  \(\displaystyle{\mathrm{\left [ \frac{m}{s^2}\frac{1}{m}\frac{m^3}{kg}=\frac{m^3}{s^2kg} \right ]} }\)


Stała grawitacji ma wymiar

\(\displaystyle{\mathrm{\left [ N\frac{m^2}{kg^2}=kg\frac{m}{s^2}\frac{m^2}{kg^2}=\frac{m^3}{s^2kg} \right ]} }\)


Jak widać wymiar się zgadza.

Rozwiązanie

Po podstawieniu wartości otrzymujemy wartość szacowaną

\(\displaystyle{G=\frac{3g}{2\rho\,Obw}=\frac{3\cdot 10}{2\rho\,Obw}=\frac{3\cdot 10}{2\cdot 5\cdot 10^3\cdot 4\cdot 10^7} }\)

\(\displaystyle{G=7,5\cdot 10^{-11} \mathrm{\left [ N\frac{m^2}{kg^2} \right ] }}\)

Rzeczywista wartość stałej grawitacyjnej, zmierzona po raz pierwszy przez Henry'ego Cavendish'a, wynosi

\(\displaystyle{G=6,67\cdot 10^{-11} \mathrm{\left [ N\frac{m^2}{kg^2} \right ] }}\)

Otrzymana oszacowana wartość różni się od rzeczywistej o około \(11\%\).

Odpowiedź

Szacowana w ten sposób wartość stałej grawitacji wynosi \(\displaystyle{G=7,5\cdot 10^{-11} \mathrm{\left [ N\frac{m^2}{kg^2} \right ] }}\).