Processing math: 100%
Zadanie 4.5.1.3

 Zadanie 4.5.1.3

Stała grawitacji
Oszacuj, tak jak to zrobił Newton, stałą grawitacji G. Załóż, że gęstość średnia Ziemi wynosi ρ=5gcm3, obwód naszej planety Obw=40000km, a przyspieszenie ziemskie g=10ms2.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - prawo grawitacji
Prawo grawitacji Newtona.
Jeżeli w przestrzeni umieścimy pewna masę M (źródło pola grawitacyjnego), to wprowadzając w dowolne miejsce tej przestrzeni inną masę m w odległości r, stwierdzamy, że na wprowadzoną masę będzie działać siła przyciągania o wartości opisanej prawem grawitacji Newtona:

F=GMmr2

skierowana do źródła pola grawitacyjnego. Współczynnik proporcjonalności G=6,671011m3kgs2 nazywamy stałą grawitacji.
Powyższy wzór jest prawdziwy dla mas punktowych i mas kulistosymetrycznych.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- średnia gęstość Ziemi ρ=5gcm3=5103kgm3,
- obwód Ziemi Obw=40000km=4107m,
- przyspieszenie ziemskie g=10ms2.

Szukane:
- wartość stałej grawitacji G.

Analiza sytuacji

Ciężar ciała jest wyrażany przez iloczyn jego masy i przyspieszenia grawitacyjnego. Wartość tą należy porównać z podaną przez Newtona zależnością na siłę grawitacyjną. Newton założył, a później udowodnił, że Ziemię można traktować, jak masę punktową zgromadzoną w jej środku.

Tak więc porównajmy ciężar na powierzchni Ziemi z siłą grawitacji

mg=GMZmR2Z


Po przekształceniu powyższej zależności otrzymujemy

G=gR2ZMZ

 Obliczony na podstawie obwodu promień Ziemi wynosi RZ=Obw2π, natomiast masa to objętość kuli pomnożona przez gęstość MZ=43πR3Zρ. Po podstawieniu otrzymujemy:

G=gR2ZMZ


G=gR2Z43πR3Zρ G=3g4πρRZ G=3g4πρObw2π

G=3g2ρObw  [ms21mm3kg=m3s2kg]


Stała grawitacji ma wymiar

[Nm2kg2=kgms2m2kg2=m3s2kg]


Jak widać wymiar się zgadza.

Rozwiązanie

Po podstawieniu wartości otrzymujemy wartość szacowaną

G=3g2ρObw=3102ρObw=310251034107

G=7,51011[Nm2kg2]

Rzeczywista wartość stałej grawitacyjnej, zmierzona po raz pierwszy przez Henry'ego Cavendish'a, wynosi

G=6,671011[Nm2kg2]

Otrzymana oszacowana wartość różni się od rzeczywistej o około 11%.

Odpowiedź

Szacowana w ten sposób wartość stałej grawitacji wynosi G=7,51011[Nm2kg2].