Zadanie 4.5.1.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.5. Pole grawitacyjne
  4. 4.5.1 Nauka
  5. Zadanie 4.5.1.4

 Zadanie 4.5.1.4

Wystrzelone ciało z Ziemi

Oblicz, na jaką wysokość \(h\) doleci wystrzelony z Ziemi pionowo do góry pocisk, gdy jego prędkość wynosi \(\displaystyle{v_1=60\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\), a jak wysoko, gdy prędkość wyniesie \(\displaystyle{v_2=6000\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)? Uwzględnij zmianę siły grawitacji wraz z wysokością. Promień Ziemi ma wartość \(R_Z=6371\,\mathrm{km}\), przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi wynosi \(\displaystyle{g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - energia w polu grawitacyjnym
Energia potencjalna w polu grawitacyjnym, jest to praca jaką wykona siła grawitacji przy przesunięciu ciała z danego punktu pola do nieskończoności. Pracę sił pola można przedstawić jako

\(W_{R_Z\rightarrow R_Z+h}=E_p(R_Z)-E_p(R_Z+h)=-\Delta E_p \)

\(\displaystyle{\Delta E_p=-\frac{GMm}{R_Z+h}+\frac{GMm}{R_Z} }\)

gdzie \(R_Z\) - promień Ziemi, \(M\) - masa Ziemi, \(m\) - masa ciała, \(h\) - wysokość wzniesienia ciała.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- prędkość początkowa pocisku \(\displaystyle{v_1=60\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\),
- prędkość początkowa pocisku \(\displaystyle{v_2=6000\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\),
- promień Ziemi \(R_Z=6371\,\mathrm{km}=6,371\cdot 10^6\,\mathrm{m}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- wysokość, na jaką doleci pociska, gdy zostanie wystrzelony z prędkością \(v_1\): \(h_1\),
- wysokość, na jaką doleci pociska, gdy zostanie wystrzelony z prędkością \(v_2\): \(h_2\).

Analiza sytuacji

Wysokość, na jaką wzniesie się ciało o masie \(m\) najbezpieczniej jest policzyć z zasady zachowania energii.

Zmiana energii kinetycznej w trakcie wznoszenia wynosi

\(\displaystyle{\Delta E_k=0-\frac{mv^2}{2} }\)


Z kolei zmiana energii potencjalnej ma postać

\(\displaystyle{\Delta E_p=-\frac{GMm}{R_Z+h}+\frac{GMm}{R_Z} }\),

gdzie \(M\) - masa Ziemi.

Z zasady zachowania energii mechanicznej otrzymujemy zależność

\(\displaystyle{0=\Delta E_k +\Delta E_p=-\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{R_Z+h}+\frac{GMm}{R_Z} }\)

Rozwiązanie

Na podstawie zasady zachowania energii można wyliczyć wysokość, na jaką wzniesie się pocisk.

\(\displaystyle{\frac{GMm}{R_Z+h}=\frac{GMm}{R_Z}-\frac{mv^2}{2} }\)
 \[\displaystyle{\frac{GM}{R_Z+h}=\frac{GM}{R_Z}-\frac{v^2}{2} }\] \[\displaystyle{\frac{GM}{R_Z+h}=\frac{2GM-R_Zv^2}{2R_Z} }\] \[\displaystyle{\frac{GM2R_Z}{2GM-R_Zv^2}=\frac{R_Z+h}{1} }\] \[\displaystyle{h=\frac{2GMR_Z}{2GM-R_Zv^2}-R_Z }\] \[\displaystyle{h=\frac{\frac{GMR_Z}{R_Z^2}}{\frac{GM}{R_Z^2}-\frac{R_Z v^2}{R_Z^2}}-R_Z }\] \[\displaystyle{h=\frac{gR_Z}{g-\frac{v^2}{R_Z}}-R_Z }\] \[\displaystyle{h=\frac{gR_Z}{g-\frac{v^2}{R_Z}}-\frac{gR_Z-\frac{R_Zv^2}{2R_Z}}{g-\frac{v^2}{R_Z}} }\] 
\(\displaystyle{h=\frac{\frac{v^2}{2}}{g-\frac{v^2}{2R_Z}} }\)

Dla prędkości \(\displaystyle{v=v_1=60\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\) mamy
\(\displaystyle{h=\frac{\frac{60^2}{2}}{9,8-\frac{60^2}{2\cdot 6,371\cdot 10^6}} }\)

\(\displaystyle{\left [ \frac{\frac{m^2}{s^2}}{\frac{m}{s^2}-\frac{\frac{m^2}{s^2}}{m}}=\frac{\frac{m^2}{s^2}}{\frac{m}{s^2}}=m \right ]}\)

\(\displaystyle{h_1=183,6788\,\mathrm{m} }\)

Zwróćmy uwagę, że dla tej prędkości można było założyć stałość pola grawitacyjnego i policzyć z prostej dobrze znanej zależności. Obliczenia takie można przeprowadzić dla niedużych prędkości początkowych wystrzeliwanych ciał. Wysokość, na którą wzniesie się takie ciało jest znacząco mniejsza od promienia Ziemi.

\(\displaystyle{mgh=\frac{mv^2}{2} }\)

\(\displaystyle{h_1=\frac{v_1^2}{2g}=183,6735\,\mathrm{m} }\)

Dla większej z prędkości \(\displaystyle{v_2=6000\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\) wysokość liczona według dokładnego równania wynosi:

\(\displaystyle{h_2=\frac{\frac{v_2^2}{2}}{g-\frac{v_2^2}{2R_Z}} }\)

\(\displaystyle{h_2=2,58\cdot 10^6\,\mathrm{m} }\)

Wynik ten różni się już bardzo od liczonego ze wzoru dla stałego pola grawitacyjnego, który jest w tej sytuacji już niepoprawny. Przybliżony wzór na zmianę energii potencjalnej może nie dać poprawnego wyniku.

 \[\displaystyle{h_2=\frac{v_2^2}{2g}=1,84\cdot 10^6\,\mathrm{m} }\] 

Odpowiedź

Wystrzelony z powierzchni Ziemi pocisk z prędkością \(\displaystyle{v_1=60\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\), wzleci na wysokość \(\displaystyle{h_1=183,68\,\mathrm{m} }\), natomiast, gdy zwiększymy prędkość pocisku do wartości \(\displaystyle{v_2=6000\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\), wzleci on na wysokość \(\displaystyle{h_2=2,58\cdot 10^6\,\mathrm{m} }\).