Zadanie 4.5.1.5
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.5. Pole grawitacyjne
  4. 4.5.1 Nauka
  5. Zadanie 4.5.1.5

 Zadanie 4.5.1.5

Studnia sięgająca dośrodka Ziemi
Wyobraź sobie, że udało się przewiercić studnię aż do środka Ziemi. Z jaką prędkością upadnie na dno wrzucone do niej ciało? (\(\displaystyle{R_Z=6371\,\mathrm{km},\; g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}} \)).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - prawo grawitacji
Prawo grawitacji Newtona.
Jeżeli w przestrzeni umieścimy pewna masę \(M\) (źródło pola grawitacyjnego), to wprowadzając w dowolne miejsce tej przestrzeni inną masę \(m\) w odległości \(r\), stwierdzamy, że na wprowadzoną masę będzie działać siła przyciągania o wartości opisanej prawem grawitacji Newtona:

\(\displaystyle{F=G\frac{Mm}{r^2} }\)

skierowana do źródła pola grawitacyjnego. Współczynnik proporcjonalności \(\displaystyle{G=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} }\) nazywamy stałą grawitacji.
Powyższy wzór jest prawdziwy dla mas punktowych i mas kulistosymetrycznych.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- promień Ziemi \(R_Z=6371\,\mathrm{km}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- prędkość, jaką osiągnie ciało na dnie studni \(v_k\).

Analiza sytuacji

Podczas lotu ciała w dół studni siła grawitacji będzie się zmieniać. Dzieje się tak dlatego, że coraz mniejsza część Ziemi, znajdująca się bliżej środka niż spadające ciało, będzie z nim oddziaływać. Prędkość końcową możemy obliczyć na podstawie pracy siły grawitacyjnej.

Masa Ziemi, która oddziałuje ze spadającym ciałem spełnia zależność

\(\displaystyle{\frac{M'_Z}{M_Z}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R_Z^3}=\frac{r^3}{R_Z^3} }\)

\(\displaystyle{M'_Z=M_Z\frac{r^3}{R_Z^3} }\)

Rysunek


Gdy spadające ciało o masie \(m\) znajduje się w odległości \(r<R_Z\), siła grawitacji wyniesie

\(\displaystyle{F_g=-G\frac{M'_Zm}{r^2} }\)

\(\displaystyle{F_g=-G\frac{M_Zr^3m}{r^2R_Z^3}=-G\frac{M_Z}{R_Z^2}\frac{m}{R_Z}r }\)

\(\displaystyle{F_g=-g\frac{m}{R_Z}r }\)

Pracę siły określa zależność \(\displaystyle{W=\int_{0}^{S}F\,\mathrm{d}S}\), a w naszym przypadku mamy

\(\displaystyle{W=\int_{R_Z}^{0}F_g\,\mathrm{d}r}\)

Rozwiązanie

Po podstawieniu siły grawitacji, mamy

\(\displaystyle{W=-g\frac{m}{R_Z} \int_{R_Z}^{0} r\,\mathrm{d}r=g\frac{m}{R_Z} \int_{0}^{R_Z} r\,\mathrm{d}r }\)

\(\displaystyle{W=g\frac{m}{R_Z}\,\left [ \frac{1}{2}r^2 \right ]_0^{R_Z}=\frac{1}{2}gmR_Z }\)

Teraz z kolei porównajmy wykonaną pracę z energią kinetyczną:

\(\displaystyle{\frac{1}{2}gmR_Z=\frac{1}{2}mv_k^2 }\)

\(v_k=\sqrt{gR_Z} \)

Otrzymana wartość jest równa I prędkości kosmicznej \(v_k=v_I\).

\(\displaystyle{v_k=v_I=7,9\,\mathrm{\frac{km}{s}}}\)

Pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć przyrównując siłę odśrodkową, działając na satelitę o masie \(m\) na orbicie kołowej o promieniu zbliżonym do promienia Ziemi \(R_Z\) z siłą przyciągania grawitacyjnego, której źródłem jest Ziemia o masie \(M_Z\).

\(\displaystyle{\frac{mv_I^2}{R_Z}=G\frac{mM_Z}{R_Z^2} }\)

\(R_Z v_I^2=GM_Z \)

\(\displaystyle{\sqrt{\frac{GM_Z}{R_Z}}=\sqrt{\frac{GM_ZR_Z}{R_Z^2}} }\)

\(v_I=\sqrt{gR_Z} \)

\(\displaystyle{v_I=7,9\,\mathrm{\frac{km}{s}}}\)

Odpowiedź

W chwili dotarcia do dna studni, ciało osiągnie prędkość \(\displaystyle{v_k=7,9\,\mathrm{\frac{km}{s}}}\).