Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Zadanie 4.5.1.5

 Zadanie 4.5.1.5

Studnia sięgająca dośrodka Ziemi
Wyobraź sobie, że udało się przewiercić studnię aż do środka Ziemi. Z jaką prędkością upadnie na dno wrzucone do niej ciało? (RZ=6371km,g=9,8ms2).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - prawo grawitacji
Prawo grawitacji Newtona.
Jeżeli w przestrzeni umieścimy pewna masę M (źródło pola grawitacyjnego), to wprowadzając w dowolne miejsce tej przestrzeni inną masę m w odległości r, stwierdzamy, że na wprowadzoną masę będzie działać siła przyciągania o wartości opisanej prawem grawitacji Newtona:

F=GMmr2

skierowana do źródła pola grawitacyjnego. Współczynnik proporcjonalności G=6,671011m3kgs2 nazywamy stałą grawitacji.
Powyższy wzór jest prawdziwy dla mas punktowych i mas kulistosymetrycznych.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- promień Ziemi RZ=6371km,
- przyspieszenie ziemskie g=9,8ms2.

Szukane:
- prędkość, jaką osiągnie ciało na dnie studni vk.

Analiza sytuacji

Podczas lotu ciała w dół studni siła grawitacji będzie się zmieniać. Dzieje się tak dlatego, że coraz mniejsza część Ziemi, znajdująca się bliżej środka niż spadające ciało, będzie z nim oddziaływać. Prędkość końcową możemy obliczyć na podstawie pracy siły grawitacyjnej.

Masa Ziemi, która oddziałuje ze spadającym ciałem spełnia zależność

MZMZ=43πr343πR3Z=r3R3Z

MZ=MZr3R3Z

Rysunek


Gdy spadające ciało o masie m znajduje się w odległości r<RZ, siła grawitacji wyniesie

Fg=GMZmr2

Fg=GMZr3mr2R3Z=GMZR2ZmRZr

Fg=gmRZr

Pracę siły określa zależność W=S0FdS, a w naszym przypadku mamy

W=0RZFgdr

Rozwiązanie

Po podstawieniu siły grawitacji, mamy

W=gmRZ0RZrdr=gmRZRZ0rdr

W=gmRZ[12r2]RZ0=12gmRZ

Teraz z kolei porównajmy wykonaną pracę z energią kinetyczną:

12gmRZ=12mv2k

vk=gRZ

Otrzymana wartość jest równa I prędkości kosmicznej vk=vI.

vk=vI=7,9kms

Pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć przyrównując siłę odśrodkową, działając na satelitę o masie m na orbicie kołowej o promieniu zbliżonym do promienia Ziemi RZ z siłą przyciągania grawitacyjnego, której źródłem jest Ziemia o masie MZ.

mv2IRZ=GmMZR2Z

RZv2I=GMZ

GMZRZ=GMZRZR2Z

vI=gRZ

vI=7,9kms

Odpowiedź

W chwili dotarcia do dna studni, ciało osiągnie prędkość vk=7,9kms.