Zadanie 4.5.1.5

Studnia sięgająca dośrodka Ziemi

Wyobraź sobie, że udało się przewiercić studnię aż do środka Ziemi. Z jaką prędkością upadnie na dno wrzucone do niej ciało? (

$\displaystyle{R_Z=6371\,\mathrm{km},\; g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$ ).

Wskazówka teoretyczna

Teoria - prawo grawitacji

Prawo grawitacji Newtona.
Jeżeli w przestrzeni umieścimy pewna masę

$M$ (źródło pola grawitacyjnego), to wprowadzając w dowolne miejsce tej przestrzeni inną masę

$m$ w odległości

$r$ , stwierdzamy, że na wprowadzoną masę będzie działać siła przyciągania o wartości opisanej prawem grawitacji Newtona:

$\displaystyle{F=G\frac{Mm}{r^2} }$

skierowana do źródła pola grawitacyjnego. Współczynnik proporcjonalności

$\displaystyle{G=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}} }$ nazywamy stałą grawitacji.
Powyższy wzór jest prawdziwy dla mas punktowych i mas kulistosymetrycznych.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- promień Ziemi $R_Z=6371\,\mathrm{km}$ ,
- przyspieszenie ziemskie $\displaystyle{g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }$ .

Szukane:
- prędkość, jaką osiągnie ciało na dnie studni $v_k$ .

Analiza sytuacji

Podczas lotu ciała w dół studni siła grawitacji będzie się zmieniać. Dzieje się tak dlatego, że coraz mniejsza część Ziemi, znajdująca się bliżej środka niż spadające ciało, będzie z nim oddziaływać. Prędkość końcową możemy obliczyć na podstawie pracy siły grawitacyjnej.

Masa Ziemi, która oddziałuje ze spadającym ciałem spełnia zależność

$\displaystyle{\frac{M'_Z}{M_Z}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R_Z^3}=\frac{r^3}{R_Z^3} }$

$\displaystyle{M'_Z=M_Z\frac{r^3}{R_Z^3} }$

Gdy spadające ciało o masie

$m$ znajduje się w odległości

$r<R_Z$ , siła grawitacji wyniesie

$\displaystyle{F_g=-G\frac{M'_Zm}{r^2} }$

$\displaystyle{F_g=-G\frac{M_Zr^3m}{r^2R_Z^3}=-G\frac{M_Z}{R_Z^2}\frac{m}{R_Z}r }$

$\displaystyle{F_g=-g\frac{m}{R_Z}r }$

Pracę siły określa zależność

$\displaystyle{W=\int_{0}^{S}F\,\mathrm{d}S}$ , a w naszym przypadku mamy

$\displaystyle{W=\int_{R_Z}^{0}F_g\,\mathrm{d}r}$

Rozwiązanie

Po podstawieniu siły grawitacji, mamy

$\displaystyle{W=-g\frac{m}{R_Z} \int_{R_Z}^{0} r\,\mathrm{d}r=g\frac{m}{R_Z} \int_{0}^{R_Z} r\,\mathrm{d}r }$

$\displaystyle{W=g\frac{m}{R_Z}\,\left [ \frac{1}{2}r^2 \right ]_0^{R_Z}=\frac{1}{2}gmR_Z }$

Teraz z kolei porównajmy wykonaną pracę z energią kinetyczną:

$\displaystyle{\frac{1}{2}gmR_Z=\frac{1}{2}mv_k^2 }$

$v_k=\sqrt{gR_Z}$

Otrzymana wartość jest równa I prędkości kosmicznej

$v_k=v_I$ .

$\displaystyle{v_k=v_I=7,9\,\mathrm{\frac{km}{s}}}$

Pierwszą prędkość kosmiczną można wyznaczyć przyrównując siłę odśrodkową, działając na satelitę o masie

$m$ na orbicie kołowej o promieniu zbliżonym do promienia Ziemi

$R_Z$ z siłą przyciągania grawitacyjnego, której źródłem jest Ziemia o masie

$M_Z$ .

$\displaystyle{\frac{mv_I^2}{R_Z}=G\frac{mM_Z}{R_Z^2} }$

$R_Z v_I^2=GM_Z$

$\displaystyle{\sqrt{\frac{GM_Z}{R_Z}}=\sqrt{\frac{GM_ZR_Z}{R_Z^2}} }$

$v_I=\sqrt{gR_Z}$

$\displaystyle{v_I=7,9\,\mathrm{\frac{km}{s}}}$

Odpowiedź

W chwili dotarcia do dna studni, ciało osiągnie prędkość $\displaystyle{v_k=7,9\,\mathrm{\frac{km}{s}}}$ .

Zadanie 4.5.1.4

4.5.2 Trening

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta