Zadanie 4.5.1.5
Wskazówka teoretyczna
Jeżeli w przestrzeni umieścimy pewna masę M (źródło pola grawitacyjnego), to wprowadzając w dowolne miejsce tej przestrzeni inną masę m w odległości r, stwierdzamy, że na wprowadzoną masę będzie działać siła przyciągania o wartości opisanej prawem grawitacji Newtona:
skierowana do źródła pola grawitacyjnego. Współczynnik proporcjonalności G=6,67⋅10−11m3kgs2 nazywamy stałą grawitacji.
Powyższy wzór jest prawdziwy dla mas punktowych i mas kulistosymetrycznych.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- promień Ziemi RZ=6371km,
- przyspieszenie ziemskie g=9,8ms2.
Szukane:
- prędkość, jaką osiągnie ciało na dnie studni vk.
Analiza sytuacji
Podczas lotu ciała w dół studni siła grawitacji będzie się zmieniać. Dzieje się tak dlatego, że coraz mniejsza część Ziemi, znajdująca się bliżej środka niż spadające ciało, będzie z nim oddziaływać. Prędkość końcową możemy obliczyć na podstawie pracy siły grawitacyjnej.
Masa Ziemi, która oddziałuje ze spadającym ciałem spełnia zależność
M′Z=MZr3R3Z

Gdy spadające ciało o masie m znajduje się w odległości r<RZ, siła grawitacji wyniesie
Pracę siły określa zależność W=∫S0FdS, a w naszym przypadku mamy
Rozwiązanie
Po podstawieniu siły grawitacji, mamy
Teraz z kolei porównajmy wykonaną pracę z energią kinetyczną:
Otrzymana wartość jest równa I prędkości kosmicznej vk=vI.
Odpowiedź
W chwili dotarcia do dna studni, ciało osiągnie prędkość vk=7,9kms.