Zadanie 4.5.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.5. Pole grawitacyjne
  4. 4.5.2 Trening
  5. Zadanie 4.5.2.1

 Zadanie 4.5.2.1

Satelita geostacjonarny
Oblicz promień orbity, na którym krążą satelity geostacjonarne. Przyjmij, że jedynymi danymi, jakimi dysponujesz to promień Ziemi \(R_Z=6371\,\mathrm{km}\) i przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi \(\displaystyle{g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\) oraz długość doby gwiazdowej, czyli okresu obrotu Ziemi wokół swojej osi \(T=86163\,\mathrm{s}\) - niepełne \(24\) godziny.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- promień Ziemi \(R_Z=6371\,\mathrm{km}=6,371\cdot 10^6\,\mathrm{m}\),
- okresu obrotu Ziemi wokół swojej osi \(T=86163\,\mathrm{s}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- promień orbity satelity geostacjonarnego \(r_s\).

Odpowiedź

Promień orbity satelity geostacjonarnego wynosi \(7,208\cdot 10^4\,\mathrm{km}\).

Polecenie

Wybierz jedno prawidłowe stwierdzenie spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Stwierdzenie 1 z 2

Przyspieszenie dośrodkowe satelity \(\displaystyle{a_d=\frac{v^2}{r_s} }\) jest powodowane krzywizną toru lotu.

Odpowiedź nieprawidłowa

Stwierdzenie 2 z 2

Przyspieszenie dośrodkowe satelity \(\displaystyle{a_d=\frac{v^2}{r_s} }\) jest powodowane przyspieszeniem grawitacyjnym \(a_g\).

Odpowiedź prawidłowa

Polecenie

Wyznacz wzór pozwalający obliczyć promień orbity satelity geostacjonarnego. Wybierz jedną prawidłową zależność, wśród czterech przedstawionych poniżej.

 Satelita zajmujący orbitę okołoziemską, która zapewnia krążącemu po niej satelicie zachowanie stałej pozycji nad wybranym punktem równika Ziemi. 

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{r_s=\sqrt[3]{\frac{gR_Z^2T^2}{4\pi^2}} }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{r_s=\sqrt[2]{\frac{r^2R_ZT}{4\pi^5}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{r_s=\sqrt[3]{\frac{rR_Z^2T^2}{4\pi^2}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{r_s=\sqrt{\frac{4\pi^2}{gR_Z^2T^2}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Porównując te przyspieszenia dośrodkowe i grawitacyjne, można określić szukany promień orbity satelity geostacjonarnego.

\(\displaystyle{a_g=\frac{F}{m}=G\frac{M_Z}{r_s^2} }\)

\(\displaystyle{a_g=G\frac{M_Z}{R_Z^2}\cdot \frac{R_Z^2}{r_s^2}=g\frac{R_Z^2}{r_s^2} }\)

Z drugiej strony przyspieszenie dośrodkowe możemy wyrazić

\(\displaystyle{a_d=\frac{v^2}{r_s}=\frac{\left (\frac{2\pi r_s}{T}\right )^2}{r_s}=4\pi^2\frac{r_s}{T^2} }\)

Porównując oba przyspieszenia otrzymujemy

\(\displaystyle{g\frac{R_Z^2}{r_s^2}=4\pi^2\frac{r_s}{T^2} }\)

\(\displaystyle{r_s^3=\frac{gR_Z^2T^2}{4\pi^2} }\)

\(\displaystyle{r_s=\sqrt[3]{\frac{gR_Z^2T^2}{4\pi^2}} }\)

\(\displaystyle{r_s=4,208\cdot 10^7\,\mathrm{m} }\)

Odpowiedź

Promień orbity satelity geostacjonarnego wynosi \(7,208\cdot 10^4\,\mathrm{km}\).