Zadanie 4.5.2.2
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.5. Pole grawitacyjne
  4. 4.5.2 Trening
  5. Zadanie 4.5.2.2

 Zadanie 4.5.2.2

Tunel przez Ziemię
Wyobraź sobie przewierconą przez środek na wylot Ziemię. Oblicz, jak zmienia się przyspieszenie grawitacyjne w zależności od odległości od środka Ziemi. Załóż, że znasz promień Ziemi oraz przyspieszenie grawitacyjne na jej powierzchni.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- promień Ziemi \(R_Z\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g}\).

Szukane:
- przyspieszenie grawitacyjne \(a_g(r)\).

Odpowiedź

Zmianę przyspieszenia grawitacyjne w zależności od odległości od środka Ziemi \(r\) opisuje zależność \(\displaystyle{a_g(r)=\frac{g}{R_Z}r }\).

Polecenie

Wyznacz zależność opisującą natężenie pola grawitacyjnego (przyspieszenie grawitacyjne). Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{a_g(r)=G\frac{g}{R_Z^2}r }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{a_g(r)=\frac{R_Z}{2g}r }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{a_g(r)=\frac{g}{R_Z}r }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{a_g(r)=\frac{G}{r}R_Z^2 }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Siła grawitacji działająca na masę próbną \(m\), znajdującą się w odległości \(r\) od środka Ziemi, opisuje zależność

\(\displaystyle{F_g=-G\frac{M'_Zm}{r^2} }\)

Masa \(M'_Z\) to część całkowitej masy Ziemi wyciętej przez sferę o promieniu \(r\)

\(\displaystyle{\frac{M'_Z}{M_Z}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R_Z^3}=\frac{r^3}{R_Z^3} }\)

\(\displaystyle{M'_Z=M_Z\frac{r^3}{R_Z^3} }\)

Rysunek


Natężenie pola grawitacyjnego, czyli przyspieszenie grawitacyjne wyniesie więc

\(\displaystyle{a_g\cong \gamma=\frac{F_g}{m}=G\frac{M'_Z}{r^2} }\)

\(\displaystyle{a_g=G\frac{1}{r^2}M_Z\frac{r^3}{R_Z^3}=G\frac{M_Z}{R_Z^3}r }\)

Pamiętając, że z definicji siły grawitacyjnej na powierzchni Ziemi wynika, że

\(\displaystyle{F_g=G\frac{M_zm}{R_Z^2}=gm }\)

\(\displaystyle{g=G\frac{M_z}{R_Z^2} }\)

Podstawiając ten wniosek do poprzedniego równania otrzymujemy

\(\displaystyle{a_g\cong \gamma=\frac{g}{R_Z}r }\)

Przyspieszenie grawitacyjne maleje liniowo do środka Ziemi.

Odpowiedź

Zmianę przyspieszenia grawitacyjne w zależności od odległości od środka Ziemi \(r\) opisuje zależność \(\displaystyle{a_g(r)=\frac{g}{R_Z}r }\).