Zadanie 4.5.2.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.5. Pole grawitacyjne
  4. 4.5.2 Trening
  5. Zadanie 4.5.2.4

 Zadanie 4.5.2.4

Okres obiegu satelity
Sztuczny satelita krąży ze stałą prędkością kątową dookoła Ziemi po orbicie kołowej o promieniu \(r\). Oblicz okres obiegu satelity. Przyjmij, następujące wielkości: promień Ziemi \(R_Z=6371\,\mathrm{km}\), przyspieszenie grawitacyjne w pobliżu powierzchni Ziemi \(\displaystyle{g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\), promień orbity \(r=7938\,\mathrm{km}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- promień orbity \(r=7938\,\mathrm{km}\),
- promień Ziemi \(R=6371\,\mathrm{km}=6,371\cdot 10^6\,\mathrm{m} \),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- okres obiegu satelity \(T\).

Odpowiedź

Okres obiegu satelity wynosi \(\displaystyle{T=7047\,\mathrm{s}\approx 2\,\mathrm{h} }\).

Polecenie

Wyznacz wartość okresu obiegu satelity. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

 \(\displaystyle{F_d=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r}\) 

 \(\displaystyle{F_g=G\frac{Mm}{r^2}}\) 

Wybór 1 z 4

\(T=717\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(T=1047\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(T=1\,\mathrm{h}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(T=7047\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Pomiędzy krążącym wokół Ziemi satelitą a Ziemią działa siła grawitacji

\(\displaystyle{F_g=G\frac{Mm}{r^2}}\)

gdzie \(m\) jest masą satelity, \(M\) masą Ziemi, a \(r\) odległością pomiędzy satelitą a środkiem Ziemi. Siła ta (w układzie związanym z Ziemią) pełni rolę siły dośrodkowej, której wartość można zapisać następująco:

\(\displaystyle{F_d=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r}\)

Satelita znajduje się na orbicie, więc:
\(F_g=F_d\)
 \[\displaystyle{G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r}\] \[\displaystyle{G\frac{M}{r^2}=\frac{4\pi^2}{T^2}r}\] \[\displaystyle{T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} }\] 
\(\displaystyle{T=\sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM}} }\)

Choć wyznaczyliśmy szukany okres nie jest to koniec zadania. Zamiast wartości liczbowej \(G\) i \(M\) w danych podano \(R\) oraz \(g\). Należy więc wyrazić iloczyn \(GM\) przez \(R\) i \(g\).
Dla ciała o masie \(m\), umieszczonego na powierzchni Ziemi, zachodzi zależność

\(\displaystyle{mg=G\frac{Mm}{R^2} }\)

\(\displaystyle{g=G\frac{M}{R^2} }\)

Stąd
\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}=2\pi\frac{r}{R}\sqrt{\frac{r}{g}} }\)

\(\displaystyle{T=2\pi\frac{7,938\cdot 10^6}{6,37\cdot 10^6}\sqrt{\frac{7,938\cdot 10^6}{9,8}}=7047\,\mathrm{s}\approx 2\,\mathrm{h} }\)

\(\displaystyle{\left [ \mathrm{\frac{m}{m}\sqrt{\frac{m}{\frac{m}{s^2}}}=\sqrt{s^2}=s }\right ]}\)

Odpowiedź

Okres obiegu satelity wynosi \(\displaystyle{T=7047\,\mathrm{s}\approx 2\,\mathrm{h} }\).