Zadanie 4.5.2.4
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 4. Praca, moc, energia, pęd
  3. 4.5. Pole grawitacyjne
  4. 4.5.2 Trening
  5. Zadanie 4.5.2.4

 Zadanie 4.5.2.4

Okres obiegu satelity
Sztuczny satelita krąży ze stałą prędkością kątową dookoła Ziemi po orbicie kołowej o promieniu \(r\). Oblicz okres obiegu satelity. Przyjmij, następujące wielkości: promień Ziemi \(R_Z=6371\,\mathrm{km}\), przyspieszenie grawitacyjne w pobliżu powierzchni Ziemi \(\displaystyle{g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\), promień orbity \(r=7938\,\mathrm{km}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- promień orbity \(r=7938\,\mathrm{km}\),
- promień Ziemi \(R=6371\,\mathrm{km}=6,371\cdot 10^6\,\mathrm{m} \),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- okres obiegu satelity \(T\).

Odpowiedź

Okres obiegu satelity wynosi \(\displaystyle{T=7047\,\mathrm{s}\approx 2\,\mathrm{h} }\).

Polecenie

Wyznacz wartość okresu obiegu satelity. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

 \(\displaystyle{F_d=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r}\) 

 \(\displaystyle{F_g=G\frac{Mm}{r^2}}\) 

Wybór 1 z 4

\(T=717\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(T=1047\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(T=1\,\mathrm{h}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(T=7047\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Pomiędzy krążącym wokół Ziemi satelitą a Ziemią działa siła grawitacji

\(\displaystyle{F_g=G\frac{Mm}{r^2}}\)

gdzie \(m\) jest masą satelity, \(M\) masą Ziemi, a \(r\) odległością pomiędzy satelitą a środkiem Ziemi. Siła ta (w układzie związanym z Ziemią) pełni rolę siły dośrodkowej, której wartość można zapisać następująco:

\(\displaystyle{F_d=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r}\)

Satelita znajduje się na orbicie, więc:
\(F_g=F_d\)
 \[\displaystyle{G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r}\] \[\displaystyle{G\frac{M}{r^2}=\frac{4\pi^2}{T^2}r}\] \[\displaystyle{T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} }\] 
\(\displaystyle{T=\sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM}} }\)

Choć wyznaczyliśmy szukany okres nie jest to koniec zadania. Zamiast wartości liczbowej \(G\) i \(M\) w danych podano \(R\) oraz \(g\). Należy więc wyrazić iloczyn \(GM\) przez \(R\) i \(g\).
Dla ciała o masie \(m\), umieszczonego na powierzchni Ziemi, zachodzi zależność

\(\displaystyle{mg=G\frac{Mm}{R^2} }\)

\(\displaystyle{g=G\frac{M}{R^2} }\)

Stąd
\(\displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}=2\pi\frac{r}{R}\sqrt{\frac{r}{g}} }\)

\(\displaystyle{T=2\pi\frac{7,938\cdot 10^6}{6,37\cdot 10^6}\sqrt{\frac{7,938\cdot 10^6}{9,8}}=7047\,\mathrm{s}\approx 2\,\mathrm{h} }\)

\(\displaystyle{\left [ \mathrm{\frac{m}{m}\sqrt{\frac{m}{\frac{m}{s^2}}}=\sqrt{s^2}=s }\right ]}\)

Odpowiedź

Okres obiegu satelity wynosi \(\displaystyle{T=7047\,\mathrm{s}\approx 2\,\mathrm{h} }\).