Zadanie 5.1.1.1
Człowiek i łódka
Na końcu nieruchomej łódki, znajdującej się w wodzie, stoi człowiek. Na jaką odległość przesunie się łódka, jeżeli człowiek przejdzie na jej drugi koniec? Ciężar człowieka wynosi \(G\), ciężar łódki \(P\), a jej długość \(L\). Opór wody przy ruchu łódki należy pominąć.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - środek masy układu ciał
Wektor położenia środka masy układu \(N\) punktów materialnych definiujemy jako
gdzie \(m_i\) i \(\vec{r}_i^2\) to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a \(M\) jest masą całego układu.
Powyższą definicję możemy odnieść do ciał o skończonych rozmiarach pod warunkiem, że ciało podzielimy na bardzo małe (w porównaniu z rozmiarami ciała) obszary, które będziemy traktowali, jako punkty mające masę tego obszaru. Można pokazać, że środek mas ciał symetrycznych leży na osiach lub w środku symetrii – np. środek masy jednorodnej kuli leży w środku kuli, środek masy jednorodnej belki leży w środku jej długości itp. Jeżeli, z czym często spotykamy się w zadaniach, mamy układ ciał o skończonych rozmiarach, to środek masy tego całego układu wyznaczamy, traktując ciała układu jako punkty materialne, znajdujące się w położeniach ich środków mas.
Komentarz: Środek masy ciała może leżeć poza ciałem, np. środek masy jednorodnego pierścienia będzie położony w jego środku.
\(\displaystyle{\vec{r}_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i \vec{r}_i^2 }\),
gdzie \(m_i\) i \(\vec{r}_i^2\) to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a \(M\) jest masą całego układu.
Powyższą definicję możemy odnieść do ciał o skończonych rozmiarach pod warunkiem, że ciało podzielimy na bardzo małe (w porównaniu z rozmiarami ciała) obszary, które będziemy traktowali, jako punkty mające masę tego obszaru. Można pokazać, że środek mas ciał symetrycznych leży na osiach lub w środku symetrii – np. środek masy jednorodnej kuli leży w środku kuli, środek masy jednorodnej belki leży w środku jej długości itp. Jeżeli, z czym często spotykamy się w zadaniach, mamy układ ciał o skończonych rozmiarach, to środek masy tego całego układu wyznaczamy, traktując ciała układu jako punkty materialne, znajdujące się w położeniach ich środków mas.
Komentarz: Środek masy ciała może leżeć poza ciałem, np. środek masy jednorodnego pierścienia będzie położony w jego środku.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- ciężar człowieka \(G\),
- ciężar łódki \(P\)
- długość łódki \(L\),
- przyspieszenie ziemskie \(g\).
Szukane:
- odległość, na jaką przesunie się łódka \(x_p\).
Analiza sytuacji
Wprowadźmy kartezjański układ współrzędnych, w taki sposób, aby ruch człowieka i łódki odbywał się wzdłuż osi \(x\). Załóżmy również, że w chwili \(t=0\) człowiek znajdował się w początku układu współrzędnych.
Znajdźmy położenie środka masy \(x_s\) układu człowiek + łódka na osi \(x\). Zgodnie z definicją mamy
\(\displaystyle{x_s=\frac{\frac{G}{g}0+\frac{P}{g}l_s}{\frac{G}{g}+\frac{P}{g}}=\frac{Pl_s}{G+P} }\),
gdzie \(\displaystyle{\frac{G}{g}}\) jest masą człowieka, a \(\displaystyle{\frac{P}{g}}\) masą łódki. Przez \(l_s\) oznaczony został środek masy łodzi.
Jeżeli zaniedbamy opór wody przy ruchu łódki, to środek masy, przy przejściu człowieka na jej drugi koniec, nie zmieni swojego położenia, gdyż układ człowiek + łódka jest wtedy układem izolowanym, na który nie działa żadna siła zewnętrzna. Wobec tego, jeżeli człowiek przemieścił się w jedną stronę, to łódka musiała przemieścić się w drugą stronę na odległość \(x_p\), tak aby położenie środka masy układu pozostało takie samo, jak poprzednio.
\(\displaystyle{x_s=\frac{G(L-x_p)+P(l_s-x_p)}{G+P} }\)
W celu uzyskania odpowiedzi należy przyrównać prawe strony równań otrzymanych powyżej.
Rozwiązanie
\(\displaystyle{\frac{Pl_s}{G+P}=\frac{G(L-x_p)+P(l_s-x_p)}{G+P} }\)
\[Pl_s=G(L-x_p)+P(l_s-x_p) \] \[\cancel{Pl_s}=GL-Gx_p+\cancel{Pl_s}-Px_p \] \[Gx_p+Px_p=GL \] \[x_p(G+P)=GL \]
\(\displaystyle{x_p=\frac{G}{P+G}L}\)
Odpowiedź
Łódka przesunie się na odległość \(\displaystyle{x_p=\frac{G}{P+G}L}\).