Zadanie 5.1.1.1
Człowiek i łódka
Na końcu nieruchomej łódki, znajdującej się w wodzie, stoi człowiek. Na jaką odległość przesunie się łódka, jeżeli człowiek przejdzie na jej drugi koniec? Ciężar człowieka wynosi G, ciężar łódki P, a jej długość L. Opór wody przy ruchu łódki należy pominąć.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - środek masy układu ciał
Wektor położenia środka masy układu N punktów materialnych definiujemy jako
gdzie mi i →r2i to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a M jest masą całego układu.
Powyższą definicję możemy odnieść do ciał o skończonych rozmiarach pod warunkiem, że ciało podzielimy na bardzo małe (w porównaniu z rozmiarami ciała) obszary, które będziemy traktowali, jako punkty mające masę tego obszaru. Można pokazać, że środek mas ciał symetrycznych leży na osiach lub w środku symetrii – np. środek masy jednorodnej kuli leży w środku kuli, środek masy jednorodnej belki leży w środku jej długości itp. Jeżeli, z czym często spotykamy się w zadaniach, mamy układ ciał o skończonych rozmiarach, to środek masy tego całego układu wyznaczamy, traktując ciała układu jako punkty materialne, znajdujące się w położeniach ich środków mas.
Komentarz: Środek masy ciała może leżeć poza ciałem, np. środek masy jednorodnego pierścienia będzie położony w jego środku.
→rs=1MN∑i=1mi→r2i,
gdzie mi i →r2i to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a M jest masą całego układu.
Powyższą definicję możemy odnieść do ciał o skończonych rozmiarach pod warunkiem, że ciało podzielimy na bardzo małe (w porównaniu z rozmiarami ciała) obszary, które będziemy traktowali, jako punkty mające masę tego obszaru. Można pokazać, że środek mas ciał symetrycznych leży na osiach lub w środku symetrii – np. środek masy jednorodnej kuli leży w środku kuli, środek masy jednorodnej belki leży w środku jej długości itp. Jeżeli, z czym często spotykamy się w zadaniach, mamy układ ciał o skończonych rozmiarach, to środek masy tego całego układu wyznaczamy, traktując ciała układu jako punkty materialne, znajdujące się w położeniach ich środków mas.
Komentarz: Środek masy ciała może leżeć poza ciałem, np. środek masy jednorodnego pierścienia będzie położony w jego środku.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- ciężar człowieka G,
- ciężar łódki P
- długość łódki L,
- przyspieszenie ziemskie g.
Szukane:
- odległość, na jaką przesunie się łódka xp.
Analiza sytuacji
Wprowadźmy kartezjański układ współrzędnych, w taki sposób, aby ruch człowieka i łódki odbywał się wzdłuż osi x. Załóżmy również, że w chwili t=0 człowiek znajdował się w początku układu współrzędnych.
Znajdźmy położenie środka masy xs układu człowiek + łódka na osi x. Zgodnie z definicją mamy
xs=Gg0+PglsGg+Pg=PlsG+P,
gdzie Gg jest masą człowieka, a Pg masą łódki. Przez ls oznaczony został środek masy łodzi.
Jeżeli zaniedbamy opór wody przy ruchu łódki, to środek masy, przy przejściu człowieka na jej drugi koniec, nie zmieni swojego położenia, gdyż układ człowiek + łódka jest wtedy układem izolowanym, na który nie działa żadna siła zewnętrzna. Wobec tego, jeżeli człowiek przemieścił się w jedną stronę, to łódka musiała przemieścić się w drugą stronę na odległość xp, tak aby położenie środka masy układu pozostało takie samo, jak poprzednio.
xs=G(L−xp)+P(ls−xp)G+P
W celu uzyskania odpowiedzi należy przyrównać prawe strony równań otrzymanych powyżej.
Rozwiązanie
PlsG+P=G(L−xp)+P(ls−xp)G+P
Pls=G(L−xp)+P(ls−xp) Pls=GL−Gxp+Pls−Pxp Gxp+Pxp=GL xp(G+P)=GL
xp=GP+GL
Odpowiedź
Łódka przesunie się na odległość xp=GP+GL.