Zadanie 5.1.1.2

Środek ciężkości ciał, na które działa siła

Trzy ciała o masach

$m_1=4\,\mathrm{kg }$ ,

$m_2=8\,\mathrm{kg }$ oraz

$m_3=4\,\mathrm{kg }$ umieszczono na płaszczyźnie. W chwili

$t=0$ ciała te są w spoczynku, a ich położenie wynosi odpowiednio:

$(-2,2)\,\mathrm{m}$ ,

$(4,1)\,\mathrm{m}$ oraz

$(-3,0)\,\mathrm{m}$ . Na każde z tych ciał działa siła:

$\vec{F}_1=-F_1\,\hat{x}$ ,

$F_1=16\,\mathrm{N}$ ;

$\vec{F}_2=F_2\,\hat{y}$ ,

$F_2=16\,\mathrm{N}$ ;

$\vec{F}_3=F_3\,\hat{x}$ ,

$F_3=8\,\mathrm{N}$ . Znajdź położenie środka masy w chwili

$t=2\,\mathrm{s}$ .

Wskazówka teoretyczna

Teoria - środek masy układu ciał

Wektor położenia środka masy układu

$N$ punktów materialnych definiujemy jako

$\displaystyle{\vec{r}_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i \vec{r}_i^2 }$ ,

gdzie

$m_i$ i

$\vec{r}_i^2$ to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a

$M$ jest masą całego układu.
Powyższą definicję możemy odnieść do ciał o skończonych rozmiarach pod warunkiem, że ciało podzielimy na bardzo małe (w porównaniu z rozmiarami ciała) obszary, które będziemy traktowali, jako punkty mające masę tego obszaru. Można pokazać, że środek mas ciał symetrycznych leży na osiach lub w środku symetrii – np. środek masy jednorodnej kuli leży w środku kuli, środek masy jednorodnej belki leży w środku jej długości itp. Jeżeli, z czym często spotykamy się w zadaniach, mamy układ ciał o skończonych rozmiarach, to środek masy tego całego układu wyznaczamy, traktując ciała układu jako punkty materialne, znajdujące się w położeniach ich środków mas.

Komentarz: Środek masy ciała może leżeć poza ciałem, np. środek masy jednorodnego pierścienia będzie położony w jego środku.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa pierwszego ciała $m_1=4\,\mathrm{kg }$ ,
- masa drugiego ciała $m_2=8\,\mathrm{kg }$ ,
- masa trzeciego ciała $m_3=4\,\mathrm{kg }$
- położenia kolejno trzech ciał w chwili $t=0$ : $(-2,2)\,\mathrm{m}$ , $(4,1)\,\mathrm{m}$ oraz $(-3,0)\,\mathrm{m}$ ,
- siła działająca na pierwsze ciało $\vec{F}_1=-F_1\,\hat{x}$ , $F_1=16\,\mathrm{N}$ ,
- siła działająca na drugie ciało $\vec{F}_2=F_2\,\hat{y}$ , $F_2=16\,\mathrm{N}$ ,
- siła działająca na trzecie ciało $\vec{F}_3=F_3\,\hat{x}$ , $F_3=8\,\mathrm{N}$ .

Szukane:
- położenie środka masy w chwili $t=2\,\mathrm{s}$ : $r_s$ .

Analiza sytuacji

Na rysunku przedstawiono siły działające na trzy ciał w chwili $t=0$ .

Wektor położenia środka masy układu ciał w chwili

$t=0$ , zgodnie z definicją, wynosi

$\displaystyle{\vec{r}_{0s}=\frac{m_1\vec{r}_{01}+m_2\vec{r}_{02}+m_3\vec{r}_{03}}{m} }$

gdzie

$\vec{r}_{01}$ ,

$\vec{r}_{02}$ ,

$\vec{r}_{03}$ oznaczają wektory położenia ciała w chwili

$t=0$ , a

$m=m_1+m_2+m_3$ jest masą układu trzech ciał.

Jeżeli w chwili początkowej ciała były w spoczynku, to również środek masy był w spoczynku. Ruch środka masy odbywa się pod wpływem siły

$\vec{F}$ , która jest sumą sił działających na wszystkie ciała układu.

$\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3$

Pod wpływem tej siły

$\vec{F}$ środek masy uzyskuje przyspieszenie

$\vec{a}_s$ zgodnie ze wzorem:

$\vec{F}=m\vec{a}_s$ ,

który jest równaniem ruchu środka masy danego układu punktów. Z powyższej zależności obliczymy

$\vec{a}_s$ .

Prędkość środka masy obliczamy z równania

$\displaystyle{\vec{v}_s=\int \vec{a}_s\mathrm{d}t }$ , a położenie środka masy

$\displaystyle{\vec{r}_s=\int \vec{v}_s\mathrm{d}t }$ .

Rozwiązanie - obliczenia

Wektor położenia środka masy układu ciał w chwili $t=0$ wynosi

- współrzędna $x$ -owa: $\displaystyle{\vec{r}_{0sx}=\frac{4\cdot (-2)+8\cdot 4+4\cdot (-3)}{4+8+4}=\frac{3}{4} }$

- współrzędna $y$ -owa: $\displaystyle{\vec{r}_{0sy}=\frac{4\cdot 2 +8\cdot 1+4\cdot 0}{4+8+4}=1 }$

$\displaystyle{\vec{r}_{0s}=\left (\frac{3}{4},1 \right )\,\mathrm{m} }$

Siła, pod wpływem której środek masy uzyskuje przyspieszenie, wynosi:

$\vec{F}=-F_1\hat{x}+F_2\hat{y}+F_3\hat{x}=(F_3-F_1)\hat{x}+F_2\hat{y}$

$\vec{F}=(8-16,16)=(-8,16)\,\mathrm{N}$

Przyspieszenie środka masy wynosi

$\displaystyle{\vec{a}_s=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{(-8,16)}{16} }$

$\displaystyle{\vec{a}_s=\left ( -\frac{1}{2},1\right )\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }$

Prędkość środka masy w chwili

$t$ wynosi

- współrzędna

$x$ -owa:

$\displaystyle{\vec{v}_{sx}=\int \left ( -\frac{1}{2}\right )\, \mathrm{d}t=-\frac{1}{2}t }$

- współrzędna

$y$ -owa:

$\displaystyle{\vec{v}_{sy}=\int 1\,\mathrm{d}t=t }$

$\displaystyle{\vec{v}_s=\int \vec{a}_s \mathrm{d}t=\left ( -\frac{1}{2}t,t\right )+\vec{C}_1 }$

gdzie

$\vec{C}_1$ jest stałą (wektorową) całkowania. Stałą tą wyznaczymy z warunku takiego, że w chwili

$t=0$ prędkość środka masy wynosi zero.

$\vec{v}_s(t=0)=\left ( 0,0\right )=\vec{C}_1$

Położenie środka masy układu dane jest przez wektor wodzący środka masy

$\displaystyle{\vec{r}_s=\int \vec{v}_s\,\mathrm{d}t=\int \left ( -\frac{1}{2}t,t\right )\,\mathrm{d}t }$

$\displaystyle{\vec{r}_s=\left ( -\frac{1}{4}t^2,\frac{1}{2}t^2\right )+\vec{C}_2 }$

gdzie stałą

$\vec{C}_2$ , podobnie jak poprzednio, wyznaczymy z warunku początkowego.

$\displaystyle{\vec{r}_s(t=0)=\vec{r}_{0s}=\left ( \frac{3}{4},1\right )=\vec{C}_2 }$

$\displaystyle{\vec{r}_s=\left (\frac{3}{4} -\frac{1}{4}t^2,1+\frac{1}{2}t^2\right )\,\mathrm{m} }$

Położenie środka masy w chwili

$t=2\,\mathrm{s}$ wynosi

$\displaystyle{\vec{r}_s=\left (\frac{3}{4} -\frac{1}{4}\cdot 2^2,1+\frac{1}{2}\cdot 2^2\right ) }$

$\displaystyle{\vec{r}_s=\left (-\frac{1}{4},3\right )\,\mathrm{m} }$ .

Odpowiedź

Położenie środka masy w chwili $t=2\,\mathrm{s}$ wynosi $\displaystyle{\vec{r}_s=\left (-\frac{1}{4},3\right )\,\mathrm{m} }$ .

Zadanie 5.1.1.1

Zadanie 5.1.1.3

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 5.1.1.2

Wskazówka teoretyczna

Informacja

Dane i szukane

Analiza sytuacji

Rozwiązanie - obliczenia

Odpowiedź