Zadanie 5.1.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 5. Dynamika układu punktów
  3. 5.1. Środek masy
  4. 5.1.2 Trening
  5. Zadanie 5.1.2.1

 Zadanie 5.1.2.1

Balon z człowiekiem
Człowiek o masie \(m_1\) trzyma się drabinki sznurowej, zwisającej z gondoli balonu pozostającego w spoczynku względem ziemi. Masa balonu wraz z gondolą wynosi \(m_2\).
a) W jakim kierunku i z jaką prędkością (względem ziemi) będzie poruszać się balon, gdy człowiek zacznie wspinać się po drabince z prędkością \(u\) (w stosunku do drabiny)?
b) Jak będzie poruszał się balon, gdy człowiek przestanie się wspinać? Zaniedbaj opór powietrza podczas ruchu balonu.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa człowieka \(m_1\),
- masa balonu \(m_2\),
- prędkość człowieka względem drabinki \(u\),
- początkowa prędkość balonu względem ziemi \(v_0=0\).

Szukane:
- prędkość balonu podczas wspinaczki człowieka \(v_a\),
- prędkość balonu po zakończonej wspinaczce człowieka \(v_b\).

Odpowiedź

Prędkość balonu podczas wspinaczki człowieka wynosi zero, zaś po zakończonej wspinaczce człowieka \(\displaystyle{v_b=\frac{m_1u}{m_1+m_2}}\).

Polecenie

Ile wynosi prędkość środka masy układu balon + wspinający się człowiek? Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{v_a=\frac{m_1u}{m_1+m_2} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{v_a=\frac{m_2u}{m_1+m_2} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(v_a=0\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(v_a=u\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Początkowo balon, ze stojącym na drabince człowiekiem spoczywa względem ziemi. Oznacza to, że suma sił działających na balon jest równa zero. Na balon działa suma sił ciężkości balonu i człowieka oraz skierowana przeciwnie siła wyporu. Suma tych sił, zgodnie z pierwszą zasadą, jest równa zero. W takim przypadku środek masy układu człowiek + balon musi pozostać w tym samym miejscu (jego prędkość jest równa zero).

Polecenie

Czy w czasie, gdy człowiek będzie wspinał się po drabinie, środek masy układu też zacznie się przesuwać? Wybierz jedną prawidłową odpowiedź, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

Tak

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 1 z 2

Nie

Odpowiedź prawidłowa
W dalszym ciągu suma sił zewnętrznych będzie równa zero i środek masy układu pozostaje nieruchomy względem ziemi. W układzie działają jedynie siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy elementami układu niezmieniające położenia środka masy. Wynika stąd, że w czasie ruchu człowieka do góry balon musi przesuwać się w kierunku przeciwnym, czyli w dół, aby środek masy pozostał w tym samym miejscu.

Polecenie

Z jaką prędkością będzie poruszał się balon, gdy człowiek przestanie się wspinać? Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{v_a=\frac{m_1u}{m_1+m_2} }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{v_a=\frac{m_2u}{m_1+m_2} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(v_a=0\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(v_a=u\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Prędkość człowieka względem ziemi wynosi:

\(v_{cz}=u- v_b\).

Prędkość środka masy układu względem ziemi wynosi:

  Prędkość środka masy układu \(N\) ciał wynosi \[\displaystyle{\vec{v}_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^N m_i\vec{v}_i}\] gdzie \(\displaystyle{M=\sum_{i=1}^N m_i}\) 
\(\displaystyle{v_{sm}=\frac{m_1v_{cz}-m_2v_b}{m_1+m_2}=0 }\)

  \[\displaystyle{\frac{m_1(u- v_b)-m_2v_b}{m_1+m_2}=0 }\] \[\displaystyle{\frac{m_1u- m_1v_b-m_2v_b}{m_1+m_2}=0 }\] \[\displaystyle{\frac{m_1u}{m_1+m_2}-\frac{v_b(m_1+m_2)}{m_1+m_2}=0 }\] \[\displaystyle{\frac{m_1u}{m_1+m_2}-v_b=0 }\] 
\(\displaystyle{v_b=\frac{m_1u}{m_1+m_2}}\)

Odpowiedź

Prędkość balonu podczas wspinaczki człowieka wynosi zero, zaś po zakończonej wspinaczce człowieka \(\displaystyle{v_b=\frac{m_1u}{m_1+m_2}}\).