Rozwiązanie - punkt a)

Składowe tensora bezwładności względem osi $x$, $y$ oraz $z$ obliczamy ze wzorów, w których sumowanie przebiega po wszystkich $N$ punktach układu. W naszym przypadku $N=4$, a odpowiednie składowe tensora wynoszą:

 Wzory   $I_{xx}=\sum_{4}^{i=1}m_i\left ( y_i^2+z_i^2 \right )$, $I_{yy}=\sum_{4}^{i=1}m_i\left ( x_i^2+z_i^2 \right )$ 
 Przekształcenia   $$I_{xx}=m_1(a^2+0^2)+m_2(a^2+0^2)+m_1((-a)^2+0^2)+m_2((-a)^2+0^2)$$ $$I_{xx}=m_1 a^2+m_2 a^2+m_1 a^2+m_2 a^2$$ $$I_{xx}=2m_1 a^2+2m_2 a^2$$  

 Wzór  $I_{zz}=\sum_{4}^{i=1}m_i\left ( x_i^2+y_i^2 \right )$ 
 Przekształcenia   $$I_{zz}=m_1\left ( (-a)^2+a^2\right )+m_2\left ( a^2+a^2\right )+m_1\left ( a^2+(-a)^2\right )+m_1\left ( (-a)^2+(-a)^2\right )$$ $$I_{zz}=m_1 2a^2+m_2 2a^2+m_1 2a^2+m_2 2a^2$$ $$I_{zz}=4a^2 (m_1+m_2)$$    Wzór  $I_{xy}=-\sum_{4}^{i=1}m_ix_iy_i$ 
 Przekształcenia   $$I_{xy}=-\left [m_2aa+m_1(-a)a+m_2(-a)(-a)+m_1a(-a) \right ]$$ $$I_{xy}=-\left [m_2a^2-m_1a^2+m_2a^2-m_1a^2 \right ]$$ $$I_{xy}=-\left [-2m_1a^2+2m_2a^2 \right ]$$    Wzory  $I_{xz}=-\sum_{4}^{i=1}m_ix_iz_i$, $I_{yz}=-\sum_{4}^{i=1}m_iy_iz_i$ 

Tensor bezwładności możemy zapisać jako:

Rozwiązanie - punkt b)

Jeżeli, dla uproszczenia zapisu, wprowadzimy następujące oznaczenia:

to tensor bezwładności możemy zapisać jako:


Sprowadzenie tensora na osie główne, oznacza znalezienie takiego nowego układu współrzędnych, w którym tensor bezwładności ma tylko dwie składowe diagonalne. Naszym zadaniem jest znalezienie tych składowych, jak również określenie położenia osi nowego układu współrzędnych w starym układzie.

Oznaczmy osie nowego układu współrzędnych jako $1$, $2$, $3$, a momenty bezwładności względem nich (składowe diagonalne), jako $I_1$, $I_2$, $I_3$. Załóżmy teraz, że nasz układ obraca się względem którejś z osi głównych z pewną prędkością kątową $\vec{\omega}$ i napiszmy wyrażenie na moment pędu bryły sztywnej $\vec{L}$.


gdzie $\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$ są składowymi momentu pędu w starym układzie współrzędnych. Z drugiej strony, jeżeli obrót układu zachodzi dookoła którejś z osi głównych, to kierunek momentu pędu jest taki sam jak wektora prędkości kątowej i wynosi $\vec{L}=I\,\vec{\omega}$, gdzie $I$ jest momentem bezwładności względem tej osi. Jeżeli teraz porównamy obydwa wyrażenia na $\vec{L}$, to otrzymujemy:

 Przekształcenia   $$\begin{eqnarray} \begin{cases} A\omega_x+B\omega_y &=I\omega_x\\ B\omega_x+A\omega_y &=I\omega_y\\2A\omega_z &=I\omega_z \end{cases} \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \begin{cases} (A-I)\omega_x+B\omega_y &=0\\ B\omega_x+(A-I)\omega_y &=0\\(2A-I)\omega_z &=0 \end{cases} \end{eqnarray}$$  

Otrzymane równanie jest równoważne układowy trzech równań jednorodnych z niewiadomymi $\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$. Układ ten ma niezerowe rozwiązanie tylko wtedy, gdy wyznacznik główny tego układu równy jest zeru.


 Przekształcenia   $$(A-I)(A-I)(2A-I)-B\cdot 0\cdot 0+0\cdot B\cdot 0-(A-I)\cdot 0\cdot 0-B\cdot B\cdot (2A-I)-0\cdot (A-I)\cdot 0=0$$ $$(A-I)^2(2A-I)-B^2(2A-I)=0$$ $$(2A-I)\left [(A-I)^2-B^2\right ]=0$$  
Otrzymane równanie daje trzy rozwiązania:


Uzyskane rozwiązania są wartościami głównych momentów bezwładności naszego układu. W zasadzie już z ich postaci możemy wywnioskować, że układ osi nowego układu współrzędnych jest taki jak na rysunku poniżej.

W sposób formalny kierunki osi głównych znajdujemy rozwiązując układ równań na składowe wektora prędkości kątowej $\vec{\omega}$ skierowanej wzdłuż jednej z trzech osi głównej, odpowiadającej zadanemu głównemu momentowi bezwładności $I$.


Ponieważ jest to układ równań jednorodnych to tylko dwa równania są liniowo niezależne. Dla $I=I_1=A+B$ mamy:


Stąd wynika, że $\omega_x=\omega_y$ oraz $\omega_z=0$, co interpretujemy w ten sposób, że oś $1$ jest w płaszczyźnie $XY$ pod kątem $45^{\circ}$ w stosunku do osi $x$ i $y$. Podobnie, gdy $I=I_2=A-B$ mamy $\omega_y=-\omega_x$ oraz $\omega_z=0$ (oś $2$ na rysunku), natomiast dla $I=I_3=2A$ układ równań ma postać:


Dwa pierwsze równania są niesprzeczne jedynie, gdy $\omega_x=\omega_y=0$, natomiast w trzecim mamy zawsze tożsamość. Stąd wnioskujemy, że wektor $\vec{\omega}$, skierowany wzdłuż osi głównej $3$, ma tylko składową $z$, czyli oś $3$ pokrywa się z tą osią.