Rozwiązanie - punkt a)

Składowe tensora bezwładności względem osi \(x\), \(y\) oraz \(z\) obliczamy ze wzorów, w których sumowanie przebiega po wszystkich \(N\) punktach układu. W naszym przypadku \(N=4\), a odpowiednie składowe tensora wynoszą:

 Wzory   \(I_{xx}=\sum_{4}^{i=1}m_i\left ( y_i^2+z_i^2 \right )\), \(I_{yy}=\sum_{4}^{i=1}m_i\left ( x_i^2+z_i^2 \right )\) 
 Przekształcenia  \[I_{xx}=m_1(a^2+0^2)+m_2(a^2+0^2)+m_1((-a)^2+0^2)+m_2((-a)^2+0^2) \] \[I_{xx}=m_1 a^2+m_2 a^2+m_1 a^2+m_2 a^2 \] \[I_{xx}=2m_1 a^2+2m_2 a^2 \] 

 Wzór  \(I_{zz}=\sum_{4}^{i=1}m_i\left ( x_i^2+y_i^2 \right )\) 
 Przekształcenia  \[I_{zz}=m_1\left ( (-a)^2+a^2\right )+m_2\left ( a^2+a^2\right )+m_1\left ( a^2+(-a)^2\right )+m_1\left ( (-a)^2+(-a)^2\right ) \] \[I_{zz}=m_1 2a^2+m_2 2a^2+m_1 2a^2+m_2 2a^2 \] \[I_{zz}=4a^2 (m_1+m_2) \]   Wzór  \(I_{xy}=-\sum_{4}^{i=1}m_ix_iy_i\) 
 Przekształcenia  \[I_{xy}=-\left [m_2aa+m_1(-a)a+m_2(-a)(-a)+m_1a(-a) \right ] \] \[I_{xy}=-\left [m_2a^2-m_1a^2+m_2a^2-m_1a^2 \right ] \] \[I_{xy}=-\left [-2m_1a^2+2m_2a^2 \right ] \]   Wzory  \(I_{xz}=-\sum_{4}^{i=1}m_ix_iz_i\), \(I_{yz}=-\sum_{4}^{i=1}m_iy_iz_i\) 

Tensor bezwładności możemy zapisać jako:

Rozwiązanie - punkt b)

Jeżeli, dla uproszczenia zapisu, wprowadzimy następujące oznaczenia:

to tensor bezwładności możemy zapisać jako:


Sprowadzenie tensora na osie główne, oznacza znalezienie takiego nowego układu współrzędnych, w którym tensor bezwładności ma tylko dwie składowe diagonalne. Naszym zadaniem jest znalezienie tych składowych, jak również określenie położenia osi nowego układu współrzędnych w starym układzie.

Oznaczmy osie nowego układu współrzędnych jako \(1\), \(2\), \(3\), a momenty bezwładności względem nich (składowe diagonalne), jako \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\). Załóżmy teraz, że nasz układ obraca się względem którejś z osi głównych z pewną prędkością kątową \(\vec{\omega}\) i napiszmy wyrażenie na moment pędu bryły sztywnej \(\vec{L}\).


gdzie \(\omega_x\), \(\omega_y\), \(\omega_z\) są składowymi momentu pędu w starym układzie współrzędnych. Z drugiej strony, jeżeli obrót układu zachodzi dookoła którejś z osi głównych, to kierunek momentu pędu jest taki sam jak wektora prędkości kątowej i wynosi \(\vec{L}=I\,\vec{\omega}\), gdzie \(I\) jest momentem bezwładności względem tej osi. Jeżeli teraz porównamy obydwa wyrażenia na \(\vec{L}\), to otrzymujemy:

 Przekształcenia  \[\begin{eqnarray} \begin{cases} A\omega_x+B\omega_y &=I\omega_x\\ B\omega_x+A\omega_y &=I\omega_y\\2A\omega_z &=I\omega_z \end{cases} \end{eqnarray} \] \[\begin{eqnarray} \begin{cases} (A-I)\omega_x+B\omega_y &=0\\ B\omega_x+(A-I)\omega_y &=0\\(2A-I)\omega_z &=0 \end{cases} \end{eqnarray} \] 

Otrzymane równanie jest równoważne układowy trzech równań jednorodnych z niewiadomymi \(\omega_x\), \(\omega_y\), \(\omega_z\). Układ ten ma niezerowe rozwiązanie tylko wtedy, gdy wyznacznik główny tego układu równy jest zeru.


 Przekształcenia  \[(A-I)(A-I)(2A-I)-B\cdot 0\cdot 0+0\cdot B\cdot 0-(A-I)\cdot 0\cdot 0-B\cdot B\cdot (2A-I)-0\cdot (A-I)\cdot 0=0\] \[(A-I)^2(2A-I)-B^2(2A-I)=0\] \[(2A-I)\left [(A-I)^2-B^2\right ]=0\] 
Otrzymane równanie daje trzy rozwiązania:


Uzyskane rozwiązania są wartościami głównych momentów bezwładności naszego układu. W zasadzie już z ich postaci możemy wywnioskować, że układ osi nowego układu współrzędnych jest taki jak na rysunku poniżej.

W sposób formalny kierunki osi głównych znajdujemy rozwiązując układ równań na składowe wektora prędkości kątowej \(\vec{\omega}\) skierowanej wzdłuż jednej z trzech osi głównej, odpowiadającej zadanemu głównemu momentowi bezwładności \(I\).


Ponieważ jest to układ równań jednorodnych to tylko dwa równania są liniowo niezależne. Dla \(I=I_1=A+B\) mamy:


Stąd wynika, że \(\omega_x=\omega_y\) oraz \(\omega_z=0\), co interpretujemy w ten sposób, że oś \(1\) jest w płaszczyźnie \(XY\) pod kątem \(45^{\circ}\) w stosunku do osi \(x\) i \(y\). Podobnie, gdy \(I=I_2=A-B\) mamy \(\omega_y=-\omega_x\) oraz \(\omega_z=0\) (oś \(2\) na rysunku), natomiast dla \(I=I_3=2A\) układ równań ma postać:


Dwa pierwsze równania są niesprzeczne jedynie, gdy \(\omega_x=\omega_y=0\), natomiast w trzecim mamy zawsze tożsamość. Stąd wnioskujemy, że wektor \(\vec{\omega}\), skierowany wzdłuż osi głównej \(3\), ma tylko składową \(z\), czyli oś \(3\) pokrywa się z tą osią.