Zadanie 5.2.1.5
Moment bezwładności cząsteczki
Oblicz moment bezwładności dla cząsteczki dwutlenku siarki (tlenek siarki (IV)) SO2 względem osi x i y przechodzących przez środek ciężkości. Długość wiązania SO wynosi 143pm, a kąt OSO ma miarę 119∘.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - środek masy, moment bezwładności
Wektor położenia środka masy układu N punktów materialnych definiujemy jako
gdzie mi i →r2i to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a M jest masą całego układu.
Jeżeli bryłę sztywną potraktujemy jako układ N punktów materialnych, to moment bezwładności takiego układu możemy wyznaczyć z następującego wzoru:
gdzie mi jest masą i-tego punktu materialnego, a ri jego odległością od osi obrotu. Wyrażenie mir21 jest momentem bezwładności tego punktu materialnego względem zadanej osi obrotu. Powyższy wzór możemy zastosować również dla układu N ciał o małych rozmiarach liniowych, połączonych na sztywno.
→rs=1MN∑i=1mi→r2i,
gdzie mi i →r2i to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a M jest masą całego układu.
Jeżeli bryłę sztywną potraktujemy jako układ N punktów materialnych, to moment bezwładności takiego układu możemy wyznaczyć z następującego wzoru:
∑Ni=1mir21,
gdzie mi jest masą i-tego punktu materialnego, a ri jego odległością od osi obrotu. Wyrażenie mir21 jest momentem bezwładności tego punktu materialnego względem zadanej osi obrotu. Powyższy wzór możemy zastosować również dla układu N ciał o małych rozmiarach liniowych, połączonych na sztywno.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- długość wiązania SO: a=143⋅10−12m,
- kąt OSO: α=119∘.
Szukane:
- momenty bezwładności liczone względem osi x i y przechodzących przez środek ciężkości cząsteczki: Ix, Iy.
Rozwiązanie
W pierwszej kolejności należy wyznaczyć środek bezwładności cząsteczki. Masa atomowa siarki, odczytana układu okresowego, wynosi 32u, a tlenu 16u. Umieśćmy teraz cząsteczkę w układzie współrzędnych, tak jak pokazano na poniższym rysunku.

W obranym układzie współrzędnych położenia atomów cząsteczki są następujące (0,0), (x2,0), (x1,y).
Z rysunku wynika, że
sinα2=x1a oraz cosα2=ya
x1=asinα2 oraz y=acosα2
Mając położenia atomów cząsteczki, możemy wyznaczyć położenie środka masy. Zacznijmu od współrzędnej xs.
xs=16u⋅0+16u⋅x2+32u⋅x116u+16u+32u xs=u(16⋅2asinα2+32⋅asinα2)u64
xs=asinα2
Współrzędna xs=x1
Dla współrzędnej ys mamy:
ys=16u⋅0+16u⋅0+32u⋅y16u+16u+32u ys=32⋅acosα264
ys=a2cosα2
Wektor położenia środka masy wynosi rs=(asinα2,a2cosα2).
Moment bezwładności mamy policzyć względem osi przechodzących przez środek ciężkości. Zaznaczmy zatem osie przechodzące przez ten punkt.

Odległość y−ys wynosi
y−ys=acosα2−a2cosα2=a2cosα2
Moment bezwładności względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości wynosi:
Ix=2⋅16u⋅(a2cosα2)2+32u⋅(a2cosα2)2
Ix=64ua24cos2α2 Ix=16ua2cos2α2 Ix=16⋅1,66⋅10−27⋅(143⋅10−12)2⋅cos21192
Ix=1,4⋅10−46kg⋅m2
Moment bezwładności względem osi pionowej przechodzącej przez środek ciężkości wynosi:
Iy=2⋅16u⋅(asinα2)2
Iy=32⋅1,66⋅10−27⋅(143⋅10−12)2⋅sin2119∘2
Iy=8,1⋅10−46kg⋅m2
Odpowiedź
Moment bezwładności dla cząsteczki dwutlenku siarki względem osi przechodzących przez środek ciężkości wynoszą:
Ix=1,4⋅10−46kg⋅m2
Iy=8,1⋅10−46kg⋅m2