Processing math: 100%
Zadanie 5.2.1.5

 Zadanie 5.2.1.5

Moment bezwładności cząsteczki
Oblicz moment bezwładności dla cząsteczki dwutlenku siarki (tlenek siarki (IV)) SO2 względem osi xy przechodzących przez środek ciężkości. Długość wiązania SO wynosi 143pm, a kąt OSO ma miarę 119.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - środek masy, moment bezwładności
Wektor położenia środka masy układu N punktów materialnych definiujemy jako

rs=1MNi=1mir2i,

gdzie mir2i to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a M jest masą całego układu.

Jeżeli bryłę sztywną potraktujemy jako układ N punktów materialnych, to moment bezwładności takiego układu możemy wyznaczyć z następującego wzoru:

Ni=1mir21,

gdzie mi jest masą i-tego punktu materialnego, a ri jego odległością od osi obrotu. Wyrażenie mir21 jest momentem bezwładności tego punktu materialnego względem zadanej osi obrotu. Powyższy wzór możemy zastosować również dla układu N ciał o małych rozmiarach liniowych, połączonych na sztywno.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- długość wiązania SO: a=1431012m,
- kąt OSO: α=119.

Szukane:
- momenty bezwładności liczone względem osi x i y przechodzących przez środek ciężkości cząsteczki: Ix, Iy.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności należy wyznaczyć środek bezwładności cząsteczki. Masa atomowa siarki, odczytana układu okresowego, wynosi 32u, a tlenu 16u. Umieśćmy teraz cząsteczkę w układzie współrzędnych, tak jak pokazano na poniższym rysunku.

Rysunek


W obranym układzie współrzędnych położenia atomów cząsteczki są następujące (0,0), (x2,0), (x1,y).

Z rysunku wynika, że

sinα2=x1a    oraz    cosα2=ya

x1=asinα2    oraz    y=acosα2

Mając położenia atomów cząsteczki, możemy wyznaczyć położenie środka masy. Zacznijmu od współrzędnej xs.

xs=16u0+16ux2+32ux116u+16u+32u xs=u(162asinα2+32asinα2)u64
xs=asinα2

Współrzędna xs=x1

Dla współrzędnej ys mamy:

ys=16u0+16u0+32uy16u+16u+32u ys=32acosα264
ys=a2cosα2

Wektor położenia środka masy wynosi rs=(asinα2,a2cosα2).

Moment bezwładności mamy policzyć względem osi przechodzących przez środek ciężkości. Zaznaczmy zatem osie przechodzące przez ten punkt.

Rysunek


Odległość yys wynosi

yys=acosα2a2cosα2=a2cosα2

Moment bezwładności względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości wynosi:

Ix=216u(a2cosα2)2+32u(a2cosα2)2

Ix=64ua24cos2α2 Ix=16ua2cos2α2 Ix=161,661027(1431012)2cos21192
Ix=1,41046kgm2

Moment bezwładności względem osi pionowej przechodzącej przez środek ciężkości wynosi:

Iy=216u(asinα2)2

Iy=321,661027(1431012)2sin21192

Iy=8,11046kgm2

Odpowiedź

Moment bezwładności dla cząsteczki dwutlenku siarki względem osi przechodzących przez środek ciężkości wynoszą:

Ix=1,41046kgm2

Iy=8,11046kgm2