Zadanie 5.2.1.5
Moment bezwładności cząsteczki
Oblicz moment bezwładności dla cząsteczki dwutlenku siarki (tlenek siarki (IV)) \(\mathrm{SO_2}\) względem osi \(x\) i \(y\) przechodzących przez środek ciężkości. Długość wiązania \(\mathrm{SO}\) wynosi \(143\,\mathrm{pm}\), a kąt \(\mathrm{OSO}\) ma miarę \(119^{\circ}\).
Wskazówka teoretyczna
Teoria - środek masy, moment bezwładności
Wektor położenia środka masy układu \(N\) punktów materialnych definiujemy jako
gdzie \(m_i\) i \(\vec{r}_i^2\) to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a \(M\) jest masą całego układu.
Jeżeli bryłę sztywną potraktujemy jako układ \(N\) punktów materialnych, to moment bezwładności takiego układu możemy wyznaczyć z następującego wzoru:
gdzie \(m_i\) jest masą i-tego punktu materialnego, a \(r_i\) jego odległością od osi obrotu. Wyrażenie \(m_i r_1^2\) jest momentem bezwładności tego punktu materialnego względem zadanej osi obrotu. Powyższy wzór możemy zastosować również dla układu \(N\) ciał o małych rozmiarach liniowych, połączonych na sztywno.
\(\displaystyle{\vec{r}_s=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{N}m_i \vec{r}_i^2 }\),
gdzie \(m_i\) i \(\vec{r}_i^2\) to odpowiednio masa i wektor położenia i-tego punktu materialnego, a \(M\) jest masą całego układu.
Jeżeli bryłę sztywną potraktujemy jako układ \(N\) punktów materialnych, to moment bezwładności takiego układu możemy wyznaczyć z następującego wzoru:
\(\sum_{i=1}^N m_i r_1^2\),
gdzie \(m_i\) jest masą i-tego punktu materialnego, a \(r_i\) jego odległością od osi obrotu. Wyrażenie \(m_i r_1^2\) jest momentem bezwładności tego punktu materialnego względem zadanej osi obrotu. Powyższy wzór możemy zastosować również dla układu \(N\) ciał o małych rozmiarach liniowych, połączonych na sztywno.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- długość wiązania \(\mathrm{SO}\): \(a=143\cdot 10^{-12}\,\mathrm{m}\),
- kąt \(\mathrm{OSO}\): \(\alpha=119^{\circ}\).
Szukane:
- momenty bezwładności liczone względem osi \(x\) i \(y\) przechodzących przez środek ciężkości cząsteczki: \(I_x\), \(I_y\).
Rozwiązanie
W pierwszej kolejności należy wyznaczyć środek bezwładności cząsteczki. Masa atomowa siarki, odczytana układu okresowego, wynosi \(32\mathrm{u}\), a tlenu \(16\mathrm{u}\). Umieśćmy teraz cząsteczkę w układzie współrzędnych, tak jak pokazano na poniższym rysunku.
W obranym układzie współrzędnych położenia atomów cząsteczki są następujące \((0,0)\), \((x_2,0)\), \((x_1,y)\).
Z rysunku wynika, że
\(\displaystyle{\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{x_1}{a} }\) oraz \(\displaystyle{\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{y}{a} }\)
\(\displaystyle{x_1=a\,\sin{\frac{\alpha}{2}} }\) oraz \(\displaystyle{y=a\,\cos{\frac{\alpha}{2}} }\)
Mając położenia atomów cząsteczki, możemy wyznaczyć położenie środka masy. Zacznijmu od współrzędnej \(x_s\).
\[\displaystyle{x_s=\frac{16\mathrm{u}\cdot 0+16\mathrm{u}\cdot x_2+32\mathrm{u}\cdot x_1}{16\mathrm{u}+16\mathrm{u}+32\mathrm{u}}}\] \[\displaystyle{x_s=\frac{\mathrm{u}(16\cdot 2a\,\sin{\frac{\alpha}{2}}+32\cdot a\,\sin{\frac{\alpha}{2}})}{\mathrm{u}64}}\]
\(\displaystyle{x_s=a\,\sin{\frac{\alpha}{2}} }\)
Współrzędna \(x_s=x_1\)
Dla współrzędnej \(y_s\) mamy:
\[\displaystyle{y_s=\frac{16\mathrm{u}\cdot 0+16\mathrm{u}\cdot 0+32\mathrm{u}\cdot y}{16\mathrm{u}+16\mathrm{u}+32\mathrm{u}}}\] \[\displaystyle{y_s=\frac{32\cdot a\,\cos{\frac{\alpha}{2}}}{64}}\]
\(\displaystyle{y_s=\frac{a}{2}\,\cos{\frac{\alpha}{2}} }\)
Wektor położenia środka masy wynosi \(\displaystyle{r_s=(a\,\sin{\frac{\alpha}{2}},\frac{a}{2}\,\cos{\frac{\alpha}{2}}) }\).
Moment bezwładności mamy policzyć względem osi przechodzących przez środek ciężkości. Zaznaczmy zatem osie przechodzące przez ten punkt.
Odległość \(y-y_s\) wynosi
\(\displaystyle{y-y_s=a\,\cos{\frac{\alpha}{2}}-\frac{a}{2}\,\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{a}{2}\,\cos{\frac{\alpha}{2}} }\)
Moment bezwładności względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości wynosi:
\(\displaystyle{I_x=2\cdot 16\mathrm{u}\cdot \left (\frac{a}{2}\cos \frac{\alpha}{2}\right )^2+32\mathrm{u}\cdot \left (\frac{a}{2}\cos \frac{\alpha}{2}\right )^2 }\)
\[\displaystyle{I_x=64\mathrm{u}\,\frac{a^2}{4}\cos^2\frac{\alpha}{2} }\] \[\displaystyle{I_x=16\mathrm{u}\,a^2\cos^2\frac{\alpha}{2} }\] \[\displaystyle{I_x=16\cdot 1,66\cdot 10^{-27}\cdot (143\cdot 10^{-12})^2\cdot \cos^2\frac{119}{2} }\]
\(\displaystyle{I_x=1,4\cdot 10^{-46}\;\mathrm{kg\cdot m^2} }\)
Moment bezwładności względem osi pionowej przechodzącej przez środek ciężkości wynosi:
\(\displaystyle{I_y=2\cdot 16\mathrm{u}\cdot \left (a\sin \frac{\alpha}{2}\right )^2 }\)
\(\displaystyle{I_y=32\cdot 1,66\cdot 10^{-27}\cdot (143\cdot 10^{-12})^2\cdot \sin^2\frac{119^{\circ}}{2} }\)
\(\displaystyle{I_y=8,1\cdot 10^{-46}\;\mathrm{kg\cdot m^2} }\)
Odpowiedź
Moment bezwładności dla cząsteczki dwutlenku siarki względem osi przechodzących przez środek ciężkości wynoszą:
\(\displaystyle{I_x=1,4\cdot 10^{-46}\;\mathrm{kg\cdot m^2} }\)
\(\displaystyle{I_y=8,1\cdot 10^{-46}\;\mathrm{kg\cdot m^2} }\)