Zadanie 5.4.1.5
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 5. Dynamika układu punktów
  3. 5.4. Zasady zachowania w ruchu obrotowym.
  4. 5.4.1 Nauka
  5. Zadanie 5.4.1.5

 Zadanie 5.4.1.5

Pocisk uderza w listwę
Na poziomym doskonale gładkim stole leży listwa o długości \(l\) i masie \(m\). W koniec listwy trafia pocisk o masie \(m_1\) lecący z prędkością \(v_1\) w kierunku prostopadłym do osi listwy. Znajdź prędkość kątową, z jaką listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk oraz prędkość środka masy listwy.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - zasada zachowania momentu pędu
Zasada zachowania momentu pędu

\(\displaystyle{\sum_{i=1}^N\vec{L}_i=\sum_{j=1}^N\vec{L}_j }\)

Suma momentów pędu ciała przed zderzeniem, połączeniem lub rozpadem równa jest sumie momentów pędu ciał po zderzeniu, połączeniu lub rozpadzie.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- długość listwy \(l\),
- masa listwy \(m\),
- masa pocisku \(m_1\),
- prędkość pocisku \(v_1\).

Szukane:
- prędkość kątowa z jaką listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk \(\omega\),
- prędkość środka masy listwy \(v_s\).

Analiza sytuacji

Ponieważ z założenia listwa leży na doskonale gładkim stole w płaszczyźnie stołu, na układ nie działa żadna siła zewnętrzna, powodująca zmianą pędu, ani żaden zewnętrzny moment sił, powodujący zmianę pędu układu listwa-pocisk. Siła ciężkości, równoważona siłą reakcji podłoża, działa w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny ruchu układu, nie wpływając na przebieg zdarzenia. Dlatego przy rozwiązywaniu zadania skorzystamy z zasady zachowania pędu i zasady zachowania momentu pędu układu listwa-pociska. Przed zderzeniem pęd układu równy jest pędowi pocisku \(p_1=m_1v_1\), gdyż listwa spoczywa. Także moment pędu \(L_1\) względem dowolnie wybranego punktu równy jest momentowi pędu pocisku. Wyznaczmy ten moment pędu względem środka masy układu listwa-pociska.

Rysunek


Położenie środka masy układu znajduje się w odległości \(x\) od środka pręta (jak na rysunku).

\(\displaystyle{x=\frac{\frac{l}{2}m_1+0m}{m_1+m} }\)

Zero w powyższym wzorze bierze się stąd, że środek masy pręta znajduje się w punkcie, względem którego liczymy środek masy układu.

Rozwiązanie

Wartość momentu pędu układu przed zderzeniem zgodnie z definicją wynosi

\(\displaystyle{L_1=\left (\frac{l}{2}-x\right )m_1v_1 }\).

Po zderzeniu kulki z listwą pęd układu równy jest iloczynowi masy układu i prędkości jego środka

\(p_2=(m_1+m)v_s\),

natomiast wartość momentu pędu, związana z ruchem obrotowym listwy z pociskiem, który w niej utkwił, wokół środka masy wynosi \(L_2=I\omega\), gdzie \(\omega\) jest prędkością kątową, a \(I\) momentem bezwładności całego układu liczonym względem osi przechodzącej pionowo przez środek masy. Możemy napisać

\(I=I_{list}+I_{poc}\),

gdzie \(I_{list}\) oznacza moment bezwładności listwy względem środka ciężkości układu. Ponieważ środek masy układu przesunięty jest względem środka masy pręta o \(x\), korzystamy z twierdzenia Steinera:

\(\displaystyle{I_{list}=I_{0list}+mx^2=\frac{1}{12}ml^2+mx^2}\)

Moment bezwładności pocisku, liczony tak jak moment bezwładności punktu materialnego, wynosi

\(\displaystyle{I_{poc}=m_1\left (\frac{l}{2}-x\right )^2 }\)

Zatem
\(\displaystyle{I=m\left (\frac{1}{12}l^2+x^2\right )+m_1\left (\frac{l}{2}-x\right )^2 }\)

Porównując wartości pędów przed i po zderzeniu, mamy

\(p_1=p_2\)

\(m_1v_1=(m_1+m)v_s\)

\(\displaystyle{v_s=\frac{m_1}{m_1+m}v_1 }\)

Z kolei porównując momenty pędu przed i po zderzeniu, otrzymujemy

\(L_1=L_2\)

\(\displaystyle{\left (\frac{l}{2}-x\right )m_1v_1=\left [m\left (\frac{1}{12}l^2+x^2\right )+m_1\left (\frac{l}{2}-x\right )^2 \right ]\omega }\)

Stąd wyznaczamy wartość prędkości kątowej, z jaką listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk

\(\displaystyle{\omega=\frac{m_1\left (\frac{l}{2}-x\right )v_1}{m\left (\frac{1}{12}l^2+x^2\right )+m_1\left (\frac{l}{2}-x\right )^2} }\)

\(\displaystyle{\omega=\frac{\left (\frac{l}{2}-x\right )v_1}{\frac{m}{m_1}\left (\frac{1}{12}l^2+x^2\right )+\left (\frac{l}{2}-x\right )^2} }\)

gdzie
\(\displaystyle{x=\frac{l}{2}\cdot \frac{m_1}{m_1+m}}\)

Odpowiedź

Wartość prędkości kątowej, z jaką listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk, wynosi \(\displaystyle{\omega=\frac{\left (\frac{l}{2}-x\right )v_1}{\frac{m}{m_1}\left (\frac{1}{12}l^2+x^2\right )+\left (\frac{l}{2}-x\right )^2} }\), gdzie \(\displaystyle{x=\frac{l}{2}\cdot \frac{m_1}{m_1+m}}\).
Prędkość środka masy ma wartość \(\displaystyle{v_s=\frac{m_1}{m_1+m_2}v_1 }\).