Analiza sytuacji

Ponieważ z założenia listwa leży na doskonale gładkim stole w płaszczyźnie stołu, na układ nie działa żadna siła zewnętrzna, powodująca zmianą pędu, ani żaden zewnętrzny moment sił, powodujący zmianę pędu układu listwa-pocisk. Siła ciężkości, równoważona siłą reakcji podłoża, działa w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny ruchu układu, nie wpływając na przebieg zdarzenia. Dlatego przy rozwiązywaniu zadania skorzystamy z zasady zachowania pędu i zasady zachowania momentu pędu układu listwa-pociska. Przed zderzeniem pęd układu równy jest pędowi pocisku $p_1=m_1v_1$, gdyż listwa spoczywa. Także moment pędu $L_1$ względem dowolnie wybranego punktu równy jest momentowi pędu pocisku. Wyznaczmy ten moment pędu względem środka masy układu listwa-pociska.

Położenie środka masy układu znajduje się w odległości $x$ od środka pręta (jak na rysunku).


Zero w powyższym wzorze bierze się stąd, że środek masy pręta znajduje się w punkcie, względem którego liczymy środek masy układu.

Rozwiązanie

Wartość momentu pędu układu przed zderzeniem zgodnie z definicją wynosi

Po zderzeniu kulki z listwą pęd układu równy jest iloczynowi masy układu i prędkości jego środka


natomiast wartość momentu pędu, związana z ruchem obrotowym listwy z pociskiem, który w niej utkwił, wokół środka masy wynosi $L_2=I\omega$, gdzie $\omega$ jest prędkością kątową, a $I$ momentem bezwładności całego układu liczonym względem osi przechodzącej pionowo przez środek masy. Możemy napisać


gdzie $I_{list}$ oznacza moment bezwładności listwy względem środka ciężkości układu. Ponieważ środek masy układu przesunięty jest względem środka masy pręta o $x$, korzystamy z twierdzenia Steinera:


Moment bezwładności pocisku, liczony tak jak moment bezwładności punktu materialnego, wynosi


Zatem

Porównując wartości pędów przed i po zderzeniu, mamy


Z kolei porównując momenty pędu przed i po zderzeniu, otrzymujemy


Stąd wyznaczamy wartość prędkości kątowej, z jaką listwa zacznie się obracać, gdy utkwi w niej pocisk


gdzie