Zadanie 5.4.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 5. Dynamika układu punktów
  3. 5.4. Zasady zachowania w ruchu obrotowym.
  4. 5.4.2 Trening
  5. Zadanie 5.4.2.1

 Zadanie 5.4.2.1

Urwane koło zamachowe
Rozpędzone koło zamachowe urywa się z osi i spada na podłoże. Z jaką prędkością zacznie się toczyć? Masa koła wynosi \(12\,\mathrm{kg}\), jego promień ma wartość \(20\,\mathrm{cm}\). Przed urwaniem się z osi obracało się z częstością \(1800\) obrotów na minutę. Jaką część całkowitej energii kinetycznej zachowało to koło?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa koła \(m=12\,\mathrm{kg}\),
- promień koła \(R=20\,\mathrm{cm}=0,2\,\mathrm{m}\),
- częstotliwość obrotu koła przed urwaniem \(\displaystyle{f=1800\,\mathrm{\frac{obr}{min} }=30\,\mathrm{\frac{obr}{s} }}\).

Szukane:
- prędkość z jaką porusza się koło \(v\),
- stosunek energii kinetycznych przed i po upadku \(\displaystyle{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}}\).

Odpowiedź

Po urwaniu koło zacznie toczyć się z prędkością \(\displaystyle{v=12,56\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\). Koło zachowało około \(33\,\%\) energii początkowej \(\displaystyle{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}=\frac{1}{3}}\).

Polecenie

Wyznacz moment pędu koła przed upadkiem. Wybierz jedną prawidłową zależność, spośród dwóch przedstawionych poniżej.
(Moment bezwładności koła zamachowego wynosi \(\displaystyle{I_0=\frac{1}{2}mR^2 }\)).

Wybór 1 z 2

\(L=I_02\pi f\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(L=I\omega+I_02\pi f\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Polecenie

Na podstawie twierdzenia Steinera wyznacz moment bezwładności względem nowej osi obrotu odległej o \(R\) od osi koła. Wybierz jedną prawidłową zależność, spośród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{I=\frac{1}{2}mR^2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{I=\frac{1}{2}mR^2+\frac{1}{4}mR^2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{I=\frac{1}{2}mR^2+mR^2}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{I=\frac{2}{5}mR^2}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Polecenie

Korzystając z zasady zachowaniu momentu pędu wyznacz prędkość liniową koła, z jaką porusza się ono po upadku. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{v=12,56\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{v=5,6\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Ponieważ siła tarcia ma moment równy zeru względem nowej osi obrotu, z zasady zachowania momentu pędu możemy zapisać

\(L=L_2\)

\(2\pi I_0f=I\omega_2\)

Stąd otrzymujemy nową prędkość kątową toczącego się koła

\(\displaystyle{\omega_2=2\pi f\frac{I_0}{I} }\)

\(\displaystyle{\omega_2=2\pi f\frac{\frac{1}{2}mR^2}{\frac{3}{2}mR^2} }\)

\(\displaystyle{\omega_2=\frac{2}{3}\pi f }\)

Prędkość liniowa to
\(v=\omega_2 R=\frac{2}{3}\pi fR\)

\(\displaystyle{v=\frac{2}{3}\pi \cdot 30\cdot 0,2 }\)

\(\displaystyle{v=12,56\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Polecenie

Oblicz jaką część całkowitej energii kinetycznej zachowało koło zamachowe. Wybierz jedną prawidłową wartość, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}=3}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}=\frac{1}{3}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Energia kinetyczna przed upadkiem wynosi

\(\displaystyle{E_{k1}=\frac{I_0\omega^2}{2}=\frac{1}{2}I_0(2\pi f)^2}\)

\(\displaystyle{E_{k1}=\frac{1}{2}mR^2\cdot 4\cdot \pi^2\cdot f^2}\)

\(\displaystyle{E_{k1}=2mR^2\pi^2 f^2}\)

Po upadku możemy traktować energię kinetyczną ruchu obrotowego wokół chwilowej osi obrotu albo jako sumę energii kinetycznej ruchu postępowego i ruchu obrotowego według środka masy

\(\displaystyle{E_{k2}=\frac{I\omega_2^2}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}mR^2\left (\frac{2}{3}\pi f\right )^2}\)

\(\displaystyle{E_{k2}=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{9}mR^2\pi^2 f^2=\frac{1}{3}E_{k1}}\)

\(\displaystyle{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}=\frac{1}{3}}\)

Wirujące koło zachowuje więc po upadku na ziemię nieco ponad \(33\,\%\) początkowej energii, reszta została zużyta na pracę przeciwko sile tarcia.

Odpowiedź

Po urwaniu koło zacznie toczyć się z prędkością \(\displaystyle{v=12,56\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\). Koło zachowało około \(33\,\%\) energii początkowej \(\displaystyle{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}=\frac{1}{3}}\).