Zadanie 6.1.1.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.1. Drgania swobodne.
  4. 6.1.1. Nauka
  5. Zadanie 6.1.1.1

 Zadanie 6.1.1.1

Drgania harmoniczne
Napisać równanie drgań kosinusoidalnych harmonicznych o amplitudzie \(2\,\mathrm{cm}\), jeśli w czasie \(2\) minut wykonanych jest \(200\) pełnych drgań, a faza początkowa wynosi \(\pi/6\).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - ruch drgający
Ruchem drgającym okresowym nazywamy taki ruch, w którym układ po upływie pewnego czasu, nazywanego okresem drgania, wraca do stanu wyjściowego.

Drganie harmoniczne proste jest drganiem o stałej w czasie amplitudzie. Równanie opisujące drganie harmoniczne  proste  przedstawia  zależność  wychylenia \(x(t)\) drgającego  punktu \(P\) z  położenia równowagi \(0\) od czasu \(t\):

\(x(t)=A_0 \cos (\omega_0t+\varphi_0 )\)

gdzie:
  • \(A_0\) - amplituda drgania (maksymalne wychylenie z położenia równowagi),
  • \(\omega_0=2\pi/T_0=2\pi f_0\) - częstość kołowa drgania,
  • \(T_0\) - okres drgania,
  • \(f_0=1/T_0\) - częstotliwość drgania,
  • \(\varphi_0\) - faza początkowa.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- amplituda \(A_0=0,02\,\mathrm{m}\),
- czas wykonania podanej liczby pełnych drgań \(t_d=120\,\mathrm{s}\),
- liczba pełnych drgań \(n=200\),
- faza początkowa \(\varphi_0 =\pi/6\).

Szukane:
- postać równania drgań harmonicznych.

Analiza sytuacji

W treści zadania mamy podane wartości opisujące drganie harmoniczne. W celu zapisu równania opisującego to drganie, należy wyznaczyć częstość kołową \(\omega_0\). Wyznaczamy okres drgań:

\(\displaystyle{T=\frac{t_d}{n}=\frac{120}{200}=0,6 \,\mathrm{s}}\)

Teraz możemy obliczyć wartość częstości tych drgań:

\(\displaystyle{\omega_0=\frac{2\pi}{T}= \frac{2\pi}{0,6\,\mathrm{s}}=\frac{10}{3}\pi\,\mathrm{\frac{1}{s}} }\)

Rozwiązanie

Korzystając z danych i wyznaczonych parametrów zapisujemy odpowiedź w jednostkach SI:

\(\displaystyle{x(t)=0,02 \cos (\frac{10\pi}{3} t+\frac{\pi}{6} ) }\)

Odpowiedź

Równanie drgań harmonicznych ma postać:  \(\displaystyle{x(t)=0,02 \cos (\frac{10\pi}{3} t+\frac{\pi}{6} ) }\).