Zadanie 6.1.1.2
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.1. Drgania swobodne.
  4. 6.1.1. Nauka
  5. Zadanie 6.1.1.2

 Zadanie 6.1.1.2

Drgania harmoniczne
Ciało wykonuje ruch harmoniczny prosty, przy czym jego położenie zależy od czasu, jak (w SI) \(x(t)=7\cdot 10^{-2}\cos (6\pi t)\). Wyznacz:
a) częstotliwość drgań,
b) okres drgań,
c) amplitudę drgań,
d) pierwszą chwilę czasu, po upływie której ciało znajdzie się w położeniu równowagi.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - ruch drgający
Ruchem drgającym okresowym nazywamy taki ruch, w którym układ po upływie pewnego czasu, nazywanego okresem drgania, wraca do stanu wyjściowego.

Drganie harmoniczne proste jest drganiem o stałej w czasie amplitudzie. Równanie opisujące drganie harmoniczne  proste  przedstawia  zależność  wychylenia \(x(t)\) drgającego  punktu \(P\) z  położenia równowagi \(0\) od czasu \(t\):

\(x(t)=A_0 \cos (\omega_0t+\varphi_0 )\)

gdzie:
  • \(A_0\) - amplituda drgania (maksymalne wychylenie z położenia równowagi),
  • \(\omega_0=2\pi/T_0=2\pi f_0\) - częstość kołowa drgania,
  • \(T_0\) - okres drgania,
  • \(f_0=1/T_0\) - częstotliwość drgania,
  • \(\varphi_0\) - faza początkowa.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- równanie opisujące ruch ciała \(x(t)=7\cdot 10^{-2}\cos (6\pi t)\,\mathrm{m}\)

Szukane:
- częstotliwość kołowa \(f_0\),
- amplituda drgań \(A_0\),
- pierwsza chwila czasu, po upływie której ciało znajdzie się w położeniu równowagi \(t_1\).

Analiza sytuacji

W treści zadania podano równanie opisujące ruch ciała \(x(t)=7\cdot 10^{-2}\cos (6\pi t)\,\mathrm{m}\). Równanie to należy porównać z równaniem drgań harmonicznych postaci: \(x(t)=A_0 \cos (\omega_0t+\varphi_0 )\,\mathrm{m}\), a następnie odczytać wartość amplitudy, częstości kołowej i fazy początkowej:

Amplituda: \(A_0=7\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}\)
Częstości kołowa: \(\omega_0=6\pi\) \(\displaystyle{\,\mathrm{\frac{rad}{s}}}\)
Faza początkowa: \(\varphi_0=0\)

Rozwiązanie

Mając wyznaczoną częstość kątową \(\omega_0\), możemy obliczyć częstotliwość drgań:

\(\displaystyle{f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{6\pi}{2\pi}=3 }\) \(\mathrm{\left [ \frac{1}{s}=Hz \right ]}\)

Okres drgań wynosi:
\[\displaystyle{ T=\frac{1}{f_0}=\frac{1}{3}\,\mathrm{s} }\]
W równaniu ruchu wykorzystano funkcję cosinus, więc ciało przejdzie przez położenie równowagi wtedy, gdy funkcja ta przyjmie wartość zero.

\(x(t_1)=7\cdot 10^{-2}\cos (6\pi t_1)=0\)

Funkcja cosinus przyjmuje wartość zera dla kąta \(\displaystyle{\frac{\pi}{2} }\), stąd wynika, że

\(\displaystyle{6\pi t_1=\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{t_1=\frac{1}{12}\,\mathrm{s} }\)

Odpowiedź

Częstotliwość drgań wynosi \(\displaystyle{f_0=3\,\mathrm{Hz} }\), zaś okres \(\displaystyle{ T=\frac{1}{3}\,\mathrm{s} }\), amplituda drgań ma wartość \(A_0=7\cdot 10^{-2}\,\mathrm{m}\). Ciało znajduje się pierwszy raz w położeniu równowagi w chwili \(\displaystyle{t_1=\frac{1}{12}\,\mathrm{s} }\).