Zadanie 6.1.1.6

Ruch punktu materialnego

Ruch punktu materialnego jest opisany równaniami parametrycznymi

$x=a \cos^2(bt)$ ,

$y=a \sin^2(bt)$ , gdzie

$a$ i

$b$ są wielkościami stałymi. Wyznacz tor ruchu oraz jego równanie jako funkcję czasu.

Wskazówka teoretyczna

Teoria - tor i równanie ruchu

Tor ruchu (trajektoria) – krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało.

Jeżeli znamy współrzędne

$x$ i

$y$ poruszającego się ciała możemy wyznaczyć składowe wektora prędkości

$\displaystyle{v_x=\frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t} }$ oraz

$\displaystyle{v_y=\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} t} }$ ,
jak i bezwzględną wartość prędkości

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$
Prędkość z przebytą drogą związana jest zależnością:

$\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d}s }{\mathrm{d} t} }$
Z powyższej zależności możemy wyznaczyć równanie ruchu

$s(t)$ (rozwiązanie równania różniczkowego).

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- równania opisujące ruch punktu materialnego $x=a \cos^2(bt)$ , $y=a \sin^2(bt)$ ,

Szukane:
- tor ruchu,
- równanie ruchu w funkcji czasu $s(t)$ .

Wyznaczenie toru ruchu

W celu znalezienia toru ruchu przeanalizujmy ruch punktu na podstawie podanych równań

$x=a \cos^2(bt)$ oraz

$y=a \sin^2(bt)$

Po dodaniu obu równań stronami, otrzymujemy:

$x+y=a(\cos^2(bt)+\sin^2(bt))$

$x+y=a\cdot 1$

$y=-x+a$

Otrzymane równanie przedstawia linię prostą. Jest to tor ruchu.

W obydwu równaniach występują funkcje trygonometryczne podniesione do kwadratu. Zbiór wartości funkcji

$f(x)=\sin^2 x$ jak i funkcji

$f(x)=\cos^2 x$ zawiera się w przedziale

$<0,1>$ . Wartości maksymalne obu równań przyjmują wartość

$a$ , a minimalna wartość to

$0$ .

W chwili

$t=0$ , mamy

$x_0=a$ ,

$y_0=0$ , zatem punkt materialny w tej chwili znajduje się w punkcie

$P_0$ . W chwili

$\displaystyle{t_1=\frac{\pi}{2b} }$ , mamy

$x_1=0$ ,

$y_1=a$ , czyli punkt materialny znajduje się w punkcie

$P_1$ . W chwili

$\displaystyle{t_2=2t_1=\frac{\pi}{b} }$ , mamy

$x_2=a$ ,

$y_2=0$ . Wynika stąd, że punkt materialny wraca do położenia

$P_0$ i cały ruch się powtarza. Punkt materialny wykonuje więc ruch harmoniczny na odcinku

$P_0 P_1$ o okresie

$\displaystyle{T=\frac{\pi}{b} }$

Wyznaczenie równania ruchu

Współrzędne prędkości punktu otrzymujemy różniczkując równania parametryczne ruchu

$\displaystyle{v_x=\frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}a \cos^2 (bt) }$

$\displaystyle{v_x=-2ab\cos(bt)\sin(bt)=-ab\sin(2bt) }$

$\displaystyle{v_y=\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}a \sin^2 (bt) }$

$\displaystyle{v_y=2ab\sin(bt)\cos(bt)=ab\sin(2bt) }$

Bezwzględną wartość prędkości obliczamy ze wzoru:

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

$v=\sqrt{(-ab\sin(2bt))^2+(ab\sin(2bt))^2 }$

$v=ab\sqrt{2\sin^2(2bt) }$

$v=ab\sqrt{2 }\sin(2bt)$

Gdy symbolem

$s$ oznaczymy odległość punktu materialnego od punktu

$P_0$ , w którym punkt materialny znajdował się w chwili

$t=0$ , będziemy mieli

$\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d}s }{\mathrm{d} t}=ab\sqrt{2 }\sin(2bt) }$

$\displaystyle{s=\int \sqrt{2}ab\sin(2bt)\mathrm{d}t }$

$\displaystyle{s=-\sqrt{2}ab\cdot \frac{1}{2b}\cos(2bt)+C }$

$\displaystyle{s=-\frac{a\sqrt{2}}{2}\cos(2bt)+C}$

Wartość stałej

$C$ obliczamy z warunków początkowych: dla

$t=0$ ,

$s=0$

$\displaystyle{0=-\frac{a\sqrt{2}}{2}\cos(0)+C}$

$\displaystyle{C=\frac{a\sqrt{2}}{2} }$

Ostatecznie otrzymujemy równanie ruchu

$\displaystyle{s(t)=\frac{a\sqrt{2}}{2}\left [ 1-\cos(2bt)\right ] }$

$\displaystyle{s(t)=\frac{a\sqrt{2}}{2}\left [ 1-(1-2\sin^2(bt))\right ] }$

$\displaystyle{s(t)=a\sqrt{2}\sin^2(bt) }$

Odpowiedź

Tor ruchu jest linią prostą. Równanie opisujące ruch punktu materialnego ma postać $\displaystyle{s(t)=a\sqrt{2}\sin^2(bt) }$ .

Zadanie 6.1.1.5

6.1.2. Trening

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta