Zadanie 6.2.1.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.2. Energia w ruchu drgającym.
  4. 6.2.1. Nauka
  5. Zadanie 6.2.1.1

 Zadanie 6.2.1.1

Energia w ruchu drgającym
Materialny punkt o masie \(0,06\,\mathrm{kg}\) wykonuje drgania harmoniczne postaci (w SI) \(\displaystyle{x(t)=5\cdot 10^{-2}\cos\left (\frac{\pi}{5}t+\frac{\pi}{4}\right ) }\). Jaka jest maksymalna wartość siły przyłożonej do tego ciała? Ile wynosi wartość całkowitej energii mechanicznej drgającego ciała?

 Wskazówka teoretyczna

 Siła i energia w ruchu harmonicznym
Oscylator harmoniczny - układ drgający, poddany działaniu sił sprężystych tj. sił proporcjonalnych do przemieszczenia \(x_0\) układu od położenia równowagi:

\(F(r)=-kx_0\)

Maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia ciała wykonującego ruch harmoniczny prosty wynoszą:

\(\displaystyle{v_{max}=x_0\omega_0 }\)

\(\displaystyle{a_{max}=x_0\omega_0^2 }\)

Energia całkowita drgającego ciała wyrażona jest wzorem

\(\displaystyle{E=\frac{kx_0^2}{2}=\frac{m\omega_0^2 x_0^2}{2} }\)

Użyte symbole: \(\omega_0\) - częstość kołowa, \(k\) - współczynnik proporcjonalności między siłą a wychyleniem, \(m\) - masa drgającego cała.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Energia mechaniczna drgań

Na energię mechaniczną drgań harmonicznych składają się energia kinetyczna drgającego ciała oraz potencjalna energia sprężystości.

\(\displaystyle{E=E_k+E_p=\frac{1}{2}mv^2(t)+\frac{1}{2}kx^2(t) }\)

\(\displaystyle{E=\frac{1}{2}m \left [ x_0\omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi )\right ]^2 +\frac{1}{2}k \left [ x_0\cos(\omega_0 t+\varphi )\right ]^2 }\)

\(\displaystyle{E=\frac{1}{2}x_0^2\left \{ m \left [ \omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi )\right ]^2 +k \left [ \cos(\omega_0 t+\varphi )\right ]^2\right \} }\)

\(\displaystyle{E=\frac{1}{2}k x_0^2\left \{ \left [ \sin(\omega_0 t+\varphi )\right ]^2 +\left [ \cos(\omega_0 t+\varphi )\right ]^2\right \} }\)

\(\displaystyle{E=\frac{1}{2}k x_0^2=\frac{1}{2}m\left (x_0\omega_0 \right )^2=\frac{1}{2}mv^2_{max} }\)

Energia mechaniczna oscylatora harmonicznego jest stała w czasie. Podczas ruchu oscylatora mamy do czynienia z ciągłym przekształcaniem się energii kinetycznej w energię potencjalną sprężystości i na odwrót.

Dane i szukane

Dane:
- masa drgającego punktu \(m=0,06\,\mathrm{kg}\),
- równanie opisujące drganie punktu \(\displaystyle{x(t)=5\cdot 10^{-2}\cos\left (\frac{\pi}{5}t+\frac{\pi}{4}\right ) \,\mathrm{m}}\).

Szukane:
- maksymalna wartość siły przyłożonej do ciała \(F\),
- wartość całkowitej energii mechanicznej drgającego ciała \(E\).

Rozwiązanie

Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że \(F(t)=ma(t)\). Dla ruchu harmonicznego wzór przyjmuje postać:

\(\displaystyle{F(t)=-m\,x_0\,\omega^2\cos\left (\omega t+\varphi \right ) }\)

Podstawiając dane z treści otrzymujemy

\(\displaystyle{F(t)=-0,06\cdot 0,05\cdot \left (\frac{\pi}{5} \right )^2\cos\left (\frac{\pi}{5} t+\frac{\pi}{4} \right ) }\)

Wyrażenie to przyjmie największą wartość dla funkcji cosinus równej \(1\)

\(\displaystyle{F=-0,06\cdot 0,05\cdot \left (\frac{\pi}{5} \right )^2\approx 1,2\cdot 10^{-3}\,\mathrm{N} }\)

\(F\approx 1,2\,\mathrm{mN} \)

Całkowitą energie obliczamy z zależności

\(\displaystyle{E=\frac{kx_0^2}{2}=\frac{m\omega_0^2 x_0^2}{2} }\)

\(\displaystyle{E=\frac{1}{2}\cdot 0,06\cdot\left (0,05\cdot\frac{\pi}{5} \right )^2\approx2,96\cdot 10^{-5}\,\mathrm{J}  }\)

\(E\approx 30\,\mathrm{\mu J}\)

Odpowiedź

Maksymalna wartość siły przyłożonej do ciała wynosi \(F\approx 1,2\,\mathrm{mN} \), a energia całkowita ma wartość \(E\approx 30\,\mathrm{\mu J}\).