Zadanie 6.2.1.2
Energia kinetyczna potencjalna
Ile wynosi stosunek energii kinetycznej do energii potencjalnej ciała wykonującego drgania harmoniczne kosinusoidalne dla chwili czasu \(\displaystyle{t =\frac{T}{6} }\), jeśli faza początkowa wynosi zero?
Wskazówka teoretyczna
Teoria - energia potencjalna i kinetyczna
Energia kinetyczna w ruchu harmonicznym wynosi (dla drgań kosinusoidalnych, czyli \(x(t)=x_0\cos\left (\omega t+\varphi\right)\) ):
Energia potencjalna sprężystości ciała wykonującego drgania harmoniczne, ma postać.
Użyte symbole: \(\omega_0\) - częstość kołowa, \(k\) - współczynnik proporcjonalności między siłą a wychyleniem, \(m\) - masa drgającego cała, \(\varphi\) - faza początkowa.
\(\displaystyle{E_k(t)=\frac{1}{2}mv^2(t) }\)
\(\displaystyle{E_k(t)=\frac{1}{2}m \left [ x_0\omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi )\right ]^2 }\)
Energia potencjalna sprężystości ciała wykonującego drgania harmoniczne, ma postać.
\(\displaystyle{E_p(t)=\frac{1}{2}kx^2(t) }\)
\(\displaystyle{E_p(t)=\frac{1}{2}k \left [ x_0\cos(\omega_0 t+\varphi )\right ]^2 }\)
Użyte symbole: \(\omega_0\) - częstość kołowa, \(k\) - współczynnik proporcjonalności między siłą a wychyleniem, \(m\) - masa drgającego cała, \(\varphi\) - faza początkowa.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- czas, w który należy obliczyć stosunek dwóch energii \(\displaystyle{t =\frac{T}{6} }\),
- faza początkowa \(\varphi = 0\).
Szukane:
- stosunek energii kinetycznej do energii potencjalnej ciała wykonującego drgania harmoniczne proste dla chwili czasu \(t\).
Rozwiązanie
Stosunek energii kinetycznej do potencjalnej, w przypadku, gdy faza początkowa wynosi zero, obliczamy:
\(\displaystyle{\frac{E_k(t)}{E_p(t)}=\frac{\frac{1}{2}m \left [ x_0\omega_0\sin(\omega_0 t )\right ]^2 }{\frac{1}{2}k x_0^2 \left [\cos(\omega_0 t )\right ]^2 } }\)
\[\displaystyle{\frac{E_k(t)}{E_p(t)}=\frac{m \left [ x_0\omega_0\sin(\frac{2\pi}{T}\cdot \frac{T}{6} )\right ]^2 }{k x_0^2 \left [\cos(\frac{2\pi}{T}\cdot \frac{T}{6} )\right ]^2 } }\] \[\displaystyle{\frac{E_k(t)}{E_p(t)}=\frac{m x_0^2\omega_0^2 \left [\sin(\frac{\pi}{3} )\right ]^2 }{k x_0^2 \left [\cos(\frac{\pi}{3} )\right ]^2 } }\] \[\displaystyle{\frac{E_k(t)}{E_p(t)}=\frac{m\omega_0^2}{k} \cdot \left [ \operatorname{tg}{\left (\frac{\pi}{3}\right ) } \right ]^2 }\]
\(\displaystyle{\frac{E_k(t)}{E_p(t)}=\frac{k}{k}\cdot (\sqrt{3})^2=3 }\)
Odpowiedź
Stosunek energii kinetycznej do energii potencjalnej ciała wykonującego drgania harmoniczne proste dla podanej chwili czasu wynosi \(3\).