Zadanie 6.2.1.3

Wahadło matematyczne

Małą kulkę podwieszoną do nitki o długości

$2\,\mathrm{m}$ odchylono od pionu o kąt

$3^{\circ}$ , a następnie puszczono swobodnie. Kulka wykonuje drgania harmoniczne. Jaka jest prędkość kulki w najniższym punkcie toru?

Wskazówka teoretyczna

Teoria - energia potencjalna

Wzór na energię potencjalną oscylatora harmonicznego silnie zależy od warunków początkowych. Aby nie komplikować formuł rozpatrzymy warunki początkowe, przy których kąt wychylenia zależy od czasu jak

$\alpha(t)=\alpha_0\cos(\omega_0t)$

W chwili początkowej wychylenie jest maksymalne i wynosi

$\alpha_0$ , więc energia potencjalna względem położenia równowagi (najniższe położenie masy wahadła matematycznego) wynosi:

$E_p(t=0)=mgl(1-\cos\alpha_0)$

Dla dowolnej chwili czasu zależność opisująca energie potencjalną przyjmuje postać

$E_p=mgl(1-\cos\alpha(t))$

$E_p=mgl\left \{1-\cos\left [ \alpha_0\cos(\omega_0t) \right ] \right \}$

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- długość nitki $l=2\,\mathrm{m}$ ,
- odchylenie początkowe kulki $\alpha=3^{\circ}$ ,
- przyspieszenie ziemskie $\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }$ .

Szukane:
- prędkość kulki w najniższym punkcie toru $v$ .

Rozwiązanie

Mając początkowe położenie kulki (kąt odchylenia) możemy wyznaczyć energię potencjalną:

$E_p=mgl \left ( 1-\cos 3^{\circ} \right )$

Z zasady zachowania energii mechanicznej możemy napisać warunek

$E_p(\alpha=3^{\circ})=E_k(\alpha=0^{\circ})$

$\displaystyle{mgl \left ( 1-\cos 3^{\circ} \right )=\frac{mv_{max}^2}{2} }$

$\displaystyle{v_{max}=\sqrt{2gl\left ( 1-\cos 3^{\circ} \right )} }$

$\displaystyle{v_{max}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 2\left ( 1-\cos 3^{\circ} \right )}\approx 0,23\,\mathrm{\frac{m}{s}} }$

Poprawną odpowiedź możemy uzyskać również korzystając ze wzoru na maksymalną prędkość liniową kulki w tym ruchu

$v_{max}=l\cdot \alpha_0\cdot\omega$

$\displaystyle{v_{max}=2\cdot \frac{3\pi}{180}\cdot\sqrt{\frac{10}{2}}\approx0,23\,\mathrm{\frac{m}{s}} }$

Teoria - oscylator harmoniczny

W położeniu równowagi, co na rysunku ilustruje pionowa linia przerywana, na masę

$m$ działają dwie równoważące się siły: ciężar

$F_g$ oraz naciąg nici

$F_n$ . Po wychyleniu z położenia równowagi o niewielki kąt

$\alpha$ , pojawia się niezerowa siła

$F_s$ styczna do toru ruchu, który jest okręgiem. Z rysunku wnioskujemy, że wartość tej siły wynosi

$F_s = F_g \sin\alpha$ . Zmienia się również naciąg nieważkiej nitki od wartości

$F_n = F_g$ do wartości

$F_n = F_g \cos\alpha$ po wychyleniu o kąt

$\alpha$ . Dla małych dostatecznie kątów

$\alpha$ odległość

$x$ masy

$m$ od prostej pionowej (linia przerywana) jest równa

$x=l\cdot\sin\alpha$ .

Energia potencjalna wahadła

Na podstawie rysunku można wyznaczyć wysokość na jakiej znajduje się ciało

$h(\alpha)=l-l\cos \alpha$

Tak więc otrzymujemy

$E_p=mgh=mgl(1-\cos\alpha(t))$

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta