Zadanie 6.2.1.4
Przekształcanie energii
Ciało połączone ze sprężyną z \(\displaystyle{k = 3,6 \,\mathrm{\frac{N}{m}} }\) wykonuje drgania opisane równaniem \(x(t)=0,05\cdot\cos(3,6t)\) (w SI). Dla jakich chwil czasu tempo przekształcania się energii potencjalnej w energię kinetyczną jest najwyższe?
Wskazówka teoretyczna
Teoria - energia potencjalna
Energię potencjalną, charakteryzującą drgania swobodne, możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{E_p(t)=\frac{1}{2}kx^2(t) }\)
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- współczynnik proporcjonalności dla sprężyny \(\displaystyle{k = 3,6 \,\mathrm{\frac{N}{m}}}\),
- równanie opisujące drgania \(x(t)=0,05\cdot\cos(3,6t)\,\mathrm{m}\).
Szukane:
- czas, w którym tempo przekształcania się energii potencjalnej w energię kinetyczną jest najwyższe \(t\).
Analiza sytuacji
Energię potencjalną drgającego ciała opisuje zależność
\(\displaystyle{E_p(t)=\frac{1}{2}k\cdot x^2(t)=\frac{1}{2}k\, \left [ 0,05\cdot\cos(3,6\cdot t)\right ]^2 }\)
W celu wyznaczenia tempa przekazu energii potencjalnej należy policzyć pochodną energii potencjalnej po czasie.
Rozwiązanie
Zmiana energii potencjalnej wynosi
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}E_p(t) }{\mathrm{d} t}=-2\frac{1}{2}\cdot k\cdot (0,05)^2\cdot 3,6\cdot\cos(3,6\cdot t)\sin(3,6\cdot t) }\)
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}E_p(t) }{\mathrm{d} t}=-\frac{1}{2} k\cdot (0,05)^2\cdot 3,6\cdot\sin(2\cdot 3,6\cdot t) }\)
Tak więc najszybszy przekaz energii będzie miał miejsce w chwilach czasu, gdy pochodna będzie zmieniała znak z ujemnego na dodatni, w pobliżu wartości argumentów sinusa, dla których jest równa zeru, co zachodzi dla chwil czasu
\(\displaystyle{2\cdot 3,6t=2\pi\cdot n }\)
\(\displaystyle{t=\frac{\pi\cdot n}{3,6} \,\mathrm{s} }\), \(n=0,1,2,...\)
Odpowiedź
Czas, w którym tempo przekształcania się energii potencjalnej w energię kinetyczną jest najwyższe, wynosi \(\displaystyle{t=\frac{\pi\cdot n}{3,6} \,\mathrm{s} }\) dla \(n=0,1,2,...\).