Zadanie 6.2.1.5
Częstotliwość drgań
Oblicz częstotliwość drgań harmonicznych nietłumionych punktu materialnego o masie \(2\,\mathrm{g}\), jeżeli amplituda wynosi \(x_0=10\,\mathrm{cm}\), zaś całkowita energia drgającego punktu materialnego wynosi \(1\,\mathrm{J}\).
Wskazówka teoretyczna
Teoria - energia potencjalna
Wzór na energię potencjalną drgań harmonicznych możemy otrzymać z ogólnego związku między energią potencjalną a siłą, która w tej sytacji jest siłą harmoniczną.
\(\displaystyle{E_p=-\int F\,\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{x}kx\,\,\mathrm{d}x }\)
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- masa punktu materialnego \(m=2\,\mathrm{g}=0,002\,\mathrm{kg}\),
- amplituda drgań \(x_0=10\,\mathrm{cm}=0,1\,\mathrm{m}\),
- całkowita energia drgającego punktu materialnego \(E=1\,\mathrm{J}\).
Szukane:
- częstotliwość drgań punktu materialnego \(f\).
Analiza sytuacji
Całkowita energia drgającego ciała jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej
\(E=E_k+E_p\)
Położenie punktu materialnego opisuje zależność \(x=x_0\cos(\omega t+\varphi)\). Wiemy również, że
\(\displaystyle{v=\frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t}=-x_0\omega\sin(\omega t+\varphi) }\)
Energię kinetyczną możemy więc zapisać jako
\(\displaystyle{E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mx_0^2\omega^2\sin^2(\omega t+\varphi) }\)
Energię potencjalną punktu materialnego, znajdującego się w odległości \(x\) od położenia równowagi, obliczamy ze wzoru
\(\displaystyle{E_p=\int_{0}^{x}kx\,\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}kx^2 }\)
\(\displaystyle{E_p=\frac{1}{2}mx_0^2\omega^2\cos^2(\omega t+\varphi) }\) gdzie \(\displaystyle{\omega^2=\frac{k}{m}}\)
Całkowita energia ruchu drgającego wynosi
\(\displaystyle{E=E_p+E_k=\frac{1}{2}mx_0^2\omega^2=\frac{1}{2}mx_0^2 4\pi^2 f^2 }\)
Rozwiązanie
Poszukiwaną częstotliwość wyznaczamy z zależności:
\(\displaystyle{E=2mx_0^2 \pi^2 f^2 }\)
\(\displaystyle{f=\sqrt{\frac{E}{2mx_0^2 \pi^2}} }\)
\(\displaystyle{f=\sqrt{\frac{1}{2\cdot 0,002\cdot 0,1^2 \pi^2}}\approx50 \,\mathrm{Hz}}\)
Odpowiedź
Częstotliwość drgań punktu materialnego wynosi \(\displaystyle{f=50 \,\mathrm{Hz}}\).