Zadanie 6.2.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.2. Energia w ruchu drgającym.
  4. 6.2.2. Trening
  5. Zadanie 6.2.2.1

 Zadanie 6.2.2.1

Energia w ruchu harmonicznym
Całkowita energia ruchu harmonicznego ciała wynosi \(4\cdot 10^{-6}\,\mathrm{J}\), zaś maksymalna siła działającą na ciało jest równa \(2\cdot 10^{-3}\,\mathrm{N}\). Napisz równanie ruchu drgającego, jeśli okres tych drgań wynosi \(2\,\mathrm{s}\), a faza początkowa \(\displaystyle{\varphi =\frac{\pi}{3}}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- całkowita energia ruchu harmonicznego ciała \(E_{max} =4\cdot 10^{-6}\,\mathrm{J}\),
- maksymalna siła działającą na ciało \(F_{max}=2\cdot 10^{-3}\,\mathrm{N}\),
- okres drgań \(T=2\,\mathrm{s}\),
- faza początkowa \(\displaystyle{\varphi =\frac{\pi}{3}}\).

Szukane:
- równanie ruchu drgającego.

Odpowiedź

Równanie ruchu drgającego ma postać \(\displaystyle{x(t)=4\cdot 10^{-3}\cos(\pi t+\frac{\pi}{3}) }\).

Polecenie

Wyznacz stosunek energii maksymalnej   \(\displaystyle{E_{max}=\frac{1}{2}kx_0^2=\frac{1}{2}mv_{max}^2 }\)  do siły maksymalnej  \(\displaystyle{F_{max}=mx_0\omega_0^2 }\)  . Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{\frac{E_{max}}{F_{max}}=\frac{x_0}{\omega_0} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{\frac{E_{max}}{F_{max}}=\frac{x_0}{2} }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{\frac{E_{max}}{F_{max}}=\frac{x_0^2}{4} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{\frac{E_{max}}{F_{max}}=\frac{2}{x_0} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Energia maksymalna w ruchu harmonicznym opisywana jest wzorem

\(\displaystyle{E_{max}=\frac{1}{2}kx_0^2=\frac{1}{2}mv_{max}^2 }\)

Natomiast maksymalną siłę możemy zapisać jako

\(\displaystyle{F_{max}=mx_0\omega_0^2 }\)

Stosunek tych dwóch wartości wynosi

\(\displaystyle{\frac{E_{max}}{F_{max}}=\frac{\frac{1}{2}kx_0^2}{mx_0\omega_0^2} }\)

\(\displaystyle{\frac{E_{max}}{F_{max}}=\frac{m\omega_0^2 x_0^2}{2mx_0\omega_0^2}=\frac{x_0}{2}}\)

Amplitudę drgań wyznaczamy z otrzymanej zależności

\(\displaystyle{\frac{E_{max}}{F_{max}}=\frac{x_0}{2}}\)

\(\displaystyle{x_0=2\frac{E_{max}}{F_{max}} }\)

\(\displaystyle{x_0=2\cdot \frac{4\cdot 10^{-6}}{2\cdot 10^{-3}}=4\cdot 10^{-3} }\) \(\displaystyle{\,\mathrm{\left [\frac{J}{N}=m\right ]}}\)

Polecenie

Napisz równanie ruchu drgającego w jednostkach układu SI. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{x(t)=4\cdot 10^{-3}\cos (2t+\frac{\pi}{3}) }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{x(t)=4\cdot 10^{-3}\cos (\pi t+\frac{\pi}{3}) }\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Do napisania równania ruchu ciała drgającego potrzebujemy amplitudy drgań \(x_0\), częstości kątowej \(\omega_0\) i fazy początkowej \(\varphi\).

\(x(t)=x_0\cos(\omega_0 t+\varphi)\)

W pierwszej części zadania wyznaczyliśmy amplitudę \(x_0=4\cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} \). Faza początkowa podana jest w treści zadania. Pozostaje więc obliczenie częstości kątowej.

\(\displaystyle{\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi\,\mathrm{s^{-1}} }\)

Równanie ruchu drgającego ma postać:

\(\displaystyle{x(t)=4\cdot 10^{-3}\cos(\pi t+\frac{\pi}{3}) }\)

Odpowiedź

Równanie ruchu drgającego ma postać \(\displaystyle{x(t)=4\cdot 10^{-3}\cos(\pi t+\frac{\pi}{3}) }\).