Zadanie 6.3.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.3. Niestandardowe problemy w ruchu drgającym.
  4. 6.3.2. Trening
  5. Zadanie 6.3.2.1

 Zadanie 6.3.2.1

Ruch harmoniczny
Faza początkowa ruchu harmonicznego jest równa zeru. Dla wychylenia równego \(0,02\,\mathrm{m}\) prędkość ruchu wynosi \(\displaystyle{0,03\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\), a dla przemieszczenia \(0,03\,\mathrm{m}\) prędkość wynosiła \(\displaystyle{0,02\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\). Ile wynosi okres drgań tego ruchu?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- faza początkowa ruchu harmonicznego \(\varphi=0\),
- położenie pierwsze \(x_1=0,02\,\mathrm{m}\),
- położenie drugie \(x_2=0,03\,\mathrm{m}\),
- prędkość w położeniu pierwszym \(\displaystyle{v_1=0,03\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- prędkość w położeniu drugim \(\displaystyle{v_2=0,02\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).

Szukane:
- okres drgań \(T\).

Odpowiedź

Okres drgań wynosi \(T=2\pi\,\mathrm{s}\).

Polecenie

Napisz równania położeń i prędkości chwilowych dla wartości podanych w zadaniu. Czy równania te wystarczą do obliczenia okresu drgań tego ciała?

TAK

Odpowiedź prawidłowa

NIE

Odpowiedź nieprawidłowa

Równania

Położenie i prędkość chwilowa, dla podanych w zadaniu wartości spełniają równania

\(x_1(t_1)=x_0\cos(\omega_0t_1)=0,02\)
\(v_1(t_1)=-x_0\omega_0\sin(\omega_0t_1)=0,03\)

\(x_2(t_2)=x_0\cos(\omega_0t_2)=0,03\)
\(v_2(t_2)=-x_0\omega_0\sin(\omega_0t_2)=0,02\)

Polecenie

Wyznacz okres drgań ciała. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(T=0,5\pi\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(T=1\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(T=2\pi\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(T=4\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Po przekształceniach równań  \[x_1(t_1)=x_0\cos(\omega_0t_1)=0,02\] \[v_1(t_1)=-x_0\omega_0\sin(\omega_0t_1)=0,03\] \[x_2(t_2)=x_0\cos(\omega_0t_2)=0,03\] \[v_2(t_2)=-x_0\omega_0\sin(\omega_0t_2)=0,02\]  opisujących położenia i prędkości chwilowe, mamy:

Dla położenia pierwszego

\(\displaystyle{\cos(\omega_0t_1)= \frac{0,02}{x_0} }\)  oraz  \(\displaystyle{\sin(\omega_0t_1)= \frac{0,03}{-x_0\omega_0} }\)

Dla położenia drugiego
\(\displaystyle{\cos(\omega_0t_2)= \frac{0,03}{x_0} }\)  oraz  \(\displaystyle{\sin(\omega_0t_2)= \frac{0,02}{-x_0\omega_0} }\)

Po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej, otrzymujemy

\(\displaystyle{\cos^2(\omega_0t_1)+\sin^2(\omega_0t_1)= \left (\frac{0,02}{x_0}\right )^2+\left (\frac{0,03}{-x_0\omega_0}\right )^2=1 }\)

\(\displaystyle{\cos^2(\omega_0t_2)+\sin^2(\omega_0t_2)= \left (\frac{0,03}{x_0}\right )^2+\left (\frac{0,02}{-x_0\omega_0}\right )^2=1 }\)

Przyrównując powyższe równania, mamy

\(\displaystyle{\left (\frac{0,02}{x_0}\right )^2+\left (\frac{0,03}{-x_0\omega_0}\right )^2=\left (\frac{0,03}{x_0}\right )^2+\left (\frac{0,02}{-x_0\omega_0}\right )^2 }\)

Po pomożeniu przez wartość \(x_0^2\) i uporządkowaniu, równanie ma postać:

\(\displaystyle{\left (\frac{0,03}{-\omega_0}\right )^2-\left (\frac{0,02}{-\omega_0}\right )^2=0,03^2-0,02^2 }\)

\(\displaystyle{\frac{0,03^2-0,02^2}{\omega_0^2}=0,03^2-0,02^2 }\)

\(\displaystyle{\frac{0,03^2-0,02^2}{0,03^2-0,02^2}=\omega_0^2 }\)

\(\omega=1\)  \(\displaystyle{\left [\,\mathrm{\frac{rad}{s}}\right ]}\)
Okres wynosi
\(\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\,\mathrm{s} }\)

Odpowiedź

Okres drgań wynosi \(T=2\pi\,\mathrm{s}\).