Zadanie 6.3.2.1

Ruch harmoniczny

Faza początkowa ruchu harmonicznego jest równa zeru. Dla wychylenia równego

$0,02\,\mathrm{m}$ prędkość ruchu wynosi

$\displaystyle{0,03\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ , a dla przemieszczenia

$0,03\,\mathrm{m}$ prędkość wynosiła

$\displaystyle{0,02\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ . Ile wynosi okres drgań tego ruchu?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- faza początkowa ruchu harmonicznego $\varphi=0$ ,
- położenie pierwsze $x_1=0,02\,\mathrm{m}$ ,
- położenie drugie $x_2=0,03\,\mathrm{m}$ ,
- prędkość w położeniu pierwszym $\displaystyle{v_1=0,03\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ ,
- prędkość w położeniu drugim $\displaystyle{v_2=0,02\,\mathrm{\frac{m}{s}}}$ .

Szukane:
- okres drgań $T$ .

Odpowiedź

Okres drgań wynosi $T=2\pi\,\mathrm{s}$ .

Polecenie

Napisz równania położeń i prędkości chwilowych dla wartości podanych w zadaniu. Czy równania te wystarczą do obliczenia okresu drgań tego ciała?

Odpowiedź prawidłowa

Odpowiedź nieprawidłowa

Równania

Położenie i prędkość chwilowa, dla podanych w zadaniu wartości spełniają równania

$x_1(t_1)=x_0\cos(\omega_0t_1)=0,02$

$v_1(t_1)=-x_0\omega_0\sin(\omega_0t_1)=0,03$

$x_2(t_2)=x_0\cos(\omega_0t_2)=0,03$

$v_2(t_2)=-x_0\omega_0\sin(\omega_0t_2)=0,02$

Polecenie

Wyznacz okres drgań ciała. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

$T=0,5\pi\,\mathrm{s}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

$T=1\,\mathrm{s}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

$T=2\pi\,\mathrm{s}$

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

$T=4\,\mathrm{s}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Po przekształceniach równań $x_1(t_1)=x_0\cos(\omega_0t_1)=0,02$ $v_1(t_1)=-x_0\omega_0\sin(\omega_0t_1)=0,03$ $x_2(t_2)=x_0\cos(\omega_0t_2)=0,03$ $v_2(t_2)=-x_0\omega_0\sin(\omega_0t_2)=0,02$ opisujących położenia i prędkości chwilowe, mamy:

Dla położenia pierwszego

$\displaystyle{\cos(\omega_0t_1)= \frac{0,02}{x_0} }$ oraz

$\displaystyle{\sin(\omega_0t_1)= \frac{0,03}{-x_0\omega_0} }$

Dla położenia drugiego

$\displaystyle{\cos(\omega_0t_2)= \frac{0,03}{x_0} }$ oraz

$\displaystyle{\sin(\omega_0t_2)= \frac{0,02}{-x_0\omega_0} }$

Po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej, otrzymujemy

$\displaystyle{\cos^2(\omega_0t_1)+\sin^2(\omega_0t_1)= \left (\frac{0,02}{x_0}\right )^2+\left (\frac{0,03}{-x_0\omega_0}\right )^2=1 }$

$\displaystyle{\cos^2(\omega_0t_2)+\sin^2(\omega_0t_2)= \left (\frac{0,03}{x_0}\right )^2+\left (\frac{0,02}{-x_0\omega_0}\right )^2=1 }$

Przyrównując powyższe równania, mamy

$\displaystyle{\left (\frac{0,02}{x_0}\right )^2+\left (\frac{0,03}{-x_0\omega_0}\right )^2=\left (\frac{0,03}{x_0}\right )^2+\left (\frac{0,02}{-x_0\omega_0}\right )^2 }$

Po pomożeniu przez wartość

$x_0^2$ i uporządkowaniu, równanie ma postać:

$\displaystyle{\left (\frac{0,03}{-\omega_0}\right )^2-\left (\frac{0,02}{-\omega_0}\right )^2=0,03^2-0,02^2 }$

$\displaystyle{\frac{0,03^2-0,02^2}{\omega_0^2}=0,03^2-0,02^2 }$

$\displaystyle{\frac{0,03^2-0,02^2}{0,03^2-0,02^2}=\omega_0^2 }$

$\omega=1$

$\displaystyle{\left [\,\mathrm{\frac{rad}{s}}\right ]}$

Okres wynosi

$\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\,\mathrm{s} }$

Odpowiedź

Okres drgań wynosi $T=2\pi\,\mathrm{s}$ .

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta

Zadanie 6.3.2.1

Informacja

Dane i szukane

Odpowiedź

Polecenie

Równania

Polecenie

Rozwiązanie

Odpowiedź