Zadanie 6.3.2.2
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.3. Niestandardowe problemy w ruchu drgającym.
  4. 6.3.2. Trening
  5. Zadanie 6.3.2.2

 Zadanie 6.3.2.2

Drgania areometru
Areometr o ciężarze \(2\,\mathrm{N}\) pływa w cieczy. Gdy zanurzy się go w cieczy i puści, zacznie wykonywać drgania z okresem \(3,25\,\mathrm{s}\). Przyjmując, że drgania są nietłumione, znajdź gęstość cieczy, w której pływa areometr. Średnica pionowej walcowej rurki areometru wynosi \(0,01\,\mathrm{m}\).

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- ciężar areometru \(P=2\,\mathrm{N}\),
- okres drgań \(T=3,25\,\mathrm{s}\),
- średnica pionowej walcowej rurki areometru \(d=0,01\,\mathrm{m}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- gęstość cieczy, w której pływa areometr \(\rho\).

Odpowiedź

Gęstość cieczy wynosi \(\displaystyle{\rho=950\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\).

Polecenie

Zastanów się nad siłami działającymi na areometr. Wskaż prawdziwe stwierdzenie, wśród trzech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 3

Okres drgań areometru nie zależy od gęstości cieczy, w której jest zanurzony.

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 3

Siła wyporu ma charakter siły powodującej drgania harmoniczne.

Odpowiedź prawidłowa
Czy są jeszcze inne prawdziwe stwierdzenia?

Wybór 3 z 3

Dodatkowe zanurzenie areometru powoduje wzrost siły wyporu.

Odpowiedź prawidłowa
Czy są jeszcze inne prawdziwe stwierdzenia?

Analiza sytuacji

Dodatkowe zanurzenie aerometru powoduje wzrost siły wyporu o wartość

\(\Delta F_{wyp}=\Delta V\rho g\)

gdzie \(\Delta V=xS\) jest przyrostem objętości zanurzonej części areometru. Pole przekroju poprzecznego rurki przyrządu wynosi \(S=\pi d^2/4\).

Dodatkowa siła będzie powodować ruch w górę areometru, przy czym wartość tej siły będzie się zmieniać w zależności od wartości \(x\) - dodatkowego zanurzenia areometru. Jeżeli oś \(0X\) skierujemy w dół, to współrzędna wektora \(\vec{F}_{wyp}\) wynosi:

\(\displaystyle{\Delta F_{wyp}=-\frac{\pi}{4}d^2\rho gx  }\)

Powyższa zależność jest prawdziwa i wówczas, gdy \(x<0\), co oznacza wynurzenie areometru względem stanu równowagi i zmniejszenie wartości \(\Delta F_{wyp}\). Wyprowadzona zależność ma charakter siły opisującej drgania harmoniczne \(F=-kx\).

Polecenie

Wyznacz gęstość cieczy, w której pływa areometr. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{\rho=1050\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{\rho=1000\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{\rho=950\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{\rho=900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Porównując siłę wyporu \(\displaystyle{\Delta F_{wyp}=-\frac{\pi}{4}d^2\rho gx  }\) do siły \(F=-kx\), otrzymujemy wartość współczynnika sprężystości

\(\displaystyle{k=-\frac{\pi}{4}d^2\rho g  }\)

Okres drgań areometru otrzymujemy stosując zależność na okres drgań harmonicznych i podstawiając otrzymana wartość współczynnika \(k\). Masa areometru wynosi \(\displaystyle{m= \frac{P}{g} }\).

\(\displaystyle{T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{4P}{\pi d^2\rho g^2}} }\)

\(\displaystyle{T^2=4\pi^2 \frac{4\cdot P}{\pi d^2\rho g^2} }\)

\(\displaystyle{\rho=\frac{16\pi\cdot P}{ d^2T^2 g^2} }\)

\(\displaystyle{\rho=\frac{16\pi\cdot 2}{ (0,01)^2\cdot (3,25)^2\cdot 10^2} }\)

\(\displaystyle{\rho=950\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\)

\(\displaystyle{\,\mathrm{\frac{N}{s^2m^2\left (\frac{m}{s^2}\right )^2}=\frac{N}{\cancel{s^2}m^2\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot \frac{N}{kg} }=\frac{kg}{m^3} }}\)

Odpowiedź

Gęstość cieczy wynosi \(\displaystyle{\rho=950\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\).