Zadanie 6.4.1.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.4. Drgania tłumione, wymuszone i złożone.
  4. 6.4.1. Nauka
  5. Zadanie 6.4.1.1

 Zadanie 6.4.1.1

Ciężarek na sprężynie
Na pionowo wiszącej sprężynie zawieszono ciężarek, co spowodowało wydłużenie jej o \(9,8\,\mathrm{cm}\). Ciężarek ten wprawiono w drgania, odciągając go w dół i puszczając. Jaką wartość powinien mieć współczynnik tłumienia \(\beta\), aby:
  1. drgania ustały po \(10\,\mathrm{s}\) (przyjąć umownie, że drgania ustają, gdy ich amplituda zmaleje do \(1\%\) wartości początkowej);
  2. ciężarek powrócił aperiodycznie do położenia równowagi;
  3. logarytmiczny dekrement tłumienia był równy \(\lambda=6\)?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - drgania tłumione
Mechaniczne drgania tłumione można przedstawić jako swobodny oscylator harmoniczny, na który działa siła proporcjonalna do prędkości. Równanie takiego ruchu można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}^2x(t) }{\mathrm{d} t^2}+2\beta\frac{\mathrm{d}x(t) }{\mathrm{d} t}+\omega_0^2x=0 }\)

gdzie
\(\displaystyle{\beta=\frac{b}{2m} }\) współczynnik tłumienia, \(b\) jest współczynnikiem proporcjonalności zawartym w sile tłumiącej: \(F=-bv\);
\(\displaystyle{\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} }\) - częstość oscylatora nietłumionego;
\(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\) - częstość drgań tłumionych.

W ruchu harmonicznym tłumionym amplituda, a co za tym idzie i energia drgań maleje z czasem do zera.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- wydłużenie sprężyny \(l=9,8\,\mathrm{cm}=0,098\,\mathrm{m}\),
- czas ustania drgań \(t_1=10\,\mathrm{s}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=9,8\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- wartość współczynnika tłumienia, w przypadku ustania drgań \(\beta_1\),
- wartość współczynnika tłumienia, w przypadku gdy ciężarek powrócił aperiodycznie do położenia równowagi \(\beta_2\),
- wartość współczynnika tłumienia, w przypadku gdy logarytmiczny dekrement tłumienia był równy \(\lambda=6\): \(\beta_3\).

Analiza sytuacji

Podane w zadaniu wydłużenie sprężyny \(l\) związane jest z masą ciężarka \(m\) i współczynnikiem sprężystości sprężyny prawem Hooka:

\(mg=kl\)

Jak wiemy współczynnik sprężystości określa częstość drgań własnych układu zgodnie ze wzorem:

\(\displaystyle{\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}} }\)

Korzystając z prawa Hooka otrzymujemy

\(\displaystyle{\omega_0=\sqrt{\frac{mg}{lm}}=\sqrt{\frac{g}{l}} }\)

Jak widać, do wyznaczenia częstości drgań własnych, wystarcza sama znajomość statycznego wydłużenia sprężyny po zawieszeniu ciężarka. Rozpatrzmy teraz ruch drgający przy pewnym współczynniku tłumienia \(\beta\). Równanie ruchu drgań tłumionych ma postać

\(x=A(t)\cos(\omega t+\varphi)\),

gdzie \(x\) jest wychyleniem od położenia równowagi, \(t\) - czasem, \(\varphi\) - fazą początkową; \(\omega\) jest częstością drgań dana wzorem:

\(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\),

\(A(t)\) to amplituda drgań tłumionych zależna od czasu. Zależność ta ma postać

\(A(t)=A_0 \exp (-\beta t)\)

gdzie \(A_0\) jest amplitudą początkową (w chwili \(t=0\)).

Rozwiązanie

1. Szukamy współczynnika \(\beta\) dla warunku: po \(10\,\mathrm{s}\) amplituda maleje \(100\) razy. Możemy to zapisać jako

\(\displaystyle{A_0 \exp(-\beta_1 t)= \frac{A_0}{100} }\)

\(\displaystyle{\beta_1=\frac{\ln 100}{t}=0,46\,\mathrm{s^{-1}} }\)

2. Aperiodyczny powrót ciężarka do położenia równowagi oznacza, zgodnie ze wzorem na \(\omega\), że współczynnik \(\beta\) jest większy lub równy częstości drgań własnych układu. Mamy więc

\(\displaystyle{\beta_2\geqslant \omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}=\sqrt{\frac{9,8}{0,098}}=10\,\mathrm{s^{-1}} }\)

3. Zgodnie z definicją logarytmicznego dekrementu tłumienia mamy

\(\lambda=\beta_3\, T\),

gdzie \(T\) jest okresem drgań:

\(\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\beta_3^2} } }\)

Podstawiając \(T\) do wzoru na \(\lambda\) i po  \[\displaystyle{\lambda=\beta_3\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\beta_3^2} } }\] \[\displaystyle{\lambda^2=\frac{4\pi^2\beta_3^2}{\omega_0^2-\beta_3^2} }\] \[\lambda^2\omega_0^2-\lambda^2\beta_3^2=4\pi^2\beta_3^2 \] \[4\pi^2\beta_3^2+\lambda^2\beta_3^2=\lambda^2\omega_0^2 \] \[\displaystyle{\beta_3=\sqrt{\frac{\lambda^2\omega_0^2}{4\pi^2+\lambda^2}} }\]  , otrzymujemy

\(\displaystyle{\beta_3=\sqrt{\frac{\lambda^2 g}{l(4\pi^2+\lambda^2)}} }\)

\(\displaystyle{\beta_3=\sqrt{\frac{6^2 \cdot 9,8}{0,098\cdot (4\pi^2+6^2)}}=6,9\,\mathrm{s^{-1}} }\)

Odpowiedź

Wartość współczynnika tłumienia, w przypadku ustania drgań wynosi \(\beta_1=0,46\,\mathrm{s^{-1}}\). W przypadku gdy ciężarek powróci aperiodycznie do położenia równowagi współczynnik przyjmuje wartości \(\beta_2\geqslant 10\,\mathrm{s^{-1}}\), a w przypadku gdy logarytmiczny dekrement tłumienia był równy \(\lambda=6\), mamy \(\beta_3=6,9\,\mathrm{s^{-1}}\).