Analiza sytuacji

Podane w zadaniu wydłużenie sprężyny $l$ związane jest z masą ciężarka $m$ i współczynnikiem sprężystości sprężyny prawem Hooka:

Jak wiemy współczynnik sprężystości określa częstość drgań własnych układu zgodnie ze wzorem:


Korzystając z prawa Hooka otrzymujemy


Jak widać, do wyznaczenia częstości drgań własnych, wystarcza sama znajomość statycznego wydłużenia sprężyny po zawieszeniu ciężarka. Rozpatrzmy teraz ruch drgający przy pewnym współczynniku tłumienia $\beta$. Równanie ruchu drgań tłumionych ma postać


gdzie $x$ jest wychyleniem od położenia równowagi, $t$ - czasem, $\varphi$ - fazą początkową; $\omega$ jest częstością drgań dana wzorem:


$A(t)$ to amplituda drgań tłumionych zależna od czasu. Zależność ta ma postać


gdzie $A_0$ jest amplitudą początkową (w chwili $t=0$).

Rozwiązanie

1. Szukamy współczynnika $\beta$ dla warunku: po $10\,\mathrm{s}$ amplituda maleje $100$ razy. Możemy to zapisać jako

2. Aperiodyczny powrót ciężarka do położenia równowagi oznacza, zgodnie ze wzorem na $\omega$, że współczynnik $\beta$ jest większy lub równy częstości drgań własnych układu. Mamy więc


3. Zgodnie z definicją logarytmicznego dekrementu tłumienia mamy


gdzie $T$ jest okresem drgań:


Podstawiając $T$ do wzoru na $\lambda$ i po  przekształceniach   $$\displaystyle{\lambda=\beta_3\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\beta_3^2} } }$$ $$\displaystyle{\lambda^2=\frac{4\pi^2\beta_3^2}{\omega_0^2-\beta_3^2} }$$ $$\lambda^2\omega_0^2-\lambda^2\beta_3^2=4\pi^2\beta_3^2$$ $$4\pi^2\beta_3^2+\lambda^2\beta_3^2=\lambda^2\omega_0^2$$ $$\displaystyle{\beta_3=\sqrt{\frac{\lambda^2\omega_0^2}{4\pi^2+\lambda^2}} }$$   , otrzymujemy