Zadanie 6.4.1.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.4. Drgania tłumione, wymuszone i złożone.
  4. 6.4.1. Nauka
  5. Zadanie 6.4.1.4

 Zadanie 6.4.1.4

Moc w drganiach wymuszonych
Pokazać, że średnia moc \(\left \langle P \right \rangle\) liczona po jednym okresie wartości energii dostarczanej układowi wykonującemu drgania wymuszone wynosi

\(\displaystyle{\left \langle P \right \rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}P(t)\mathrm{d}t=\frac{F_0 A\omega\sin(\varphi) }{2}}\), dla  \(\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega}}\).

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Rozwiązanie

W celu pokazania powyżej przedstawionego wyniku, należy policzyć dość skomplikowaną na pozór całkę

\(\displaystyle{\left \langle P \right \rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}P(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}F(t)\cdot v(t)\mathrm{d}t }\)

Siła w drganiach wymuszonych przyjmuje postać \(F(t)=F_0\cos(\omega t)\) zaś prędkość \(v(t)=A\omega\sin(\omega t+\varphi)\). Po podstawieniu tych wartości, mamy

\(\displaystyle{\left \langle P \right \rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} F_0\cos(\omega t)\cdot A\omega\sin(\omega t+\varphi)\mathrm{d}t }\)

Po zastosowaniu wzoru \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) mamy

\(\displaystyle{\left \langle P \right \rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \omega F_0\cos(\omega t)\cdot A\left [\sin(\omega t)\cos\varphi+\cos(\omega t)\sin\varphi \right ] \mathrm{d}t }\)

Otrzymaną całkę możemy rozbić na dwie \(P_1\) i \(P_2\)

\(\displaystyle{P_1=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \omega F_0\cos(\omega t)\cdot A\sin(\omega t)\cos\varphi \,\mathrm{d}t }\)  oraz  \(\displaystyle{P_2=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \omega F_0\cos(\omega t)\cdot A\cos(\omega t)\sin\varphi \,\mathrm{d}t }\)

Całka pierwsza

Po zastosowaniu wzoru \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) i wyciągnięciu przed całkę stałych, mamy

\(\displaystyle{P_1=\frac{\omega\cdot A\cdot F_0\cos\varphi}{2T}\int_{0}^{T} \sin(2\omega t) \,\mathrm{d}t }\)

\(\displaystyle{P_1=\frac{\omega\cdot A\cdot F_0\cos\varphi}{2T}\left [-\frac{1}{2}\cos (2\omega t)\right ]_0^T }\)

Okres drgań możemy wyrazić wzorem \(\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega}}\), co zmienia granice całkowania

\(\displaystyle{P_1=-\frac{\omega\cdot A\cdot F_0\cos\varphi}{2T}\left (\frac{1}{2}\cos (2\omega \frac{2\pi}{\omega})-\frac{1}{2}\cos (2\omega \cdot 0)\right )  }\)

\(\displaystyle{P_1=-\frac{\omega\cdot A\cdot F_0\cos\varphi}{4T}\left (\cos (4\pi)-1\right )  }\)

\(\displaystyle{P_1=-\frac{\omega\cdot A\cdot F_0\cos\varphi}{4T}\left (1-1\right )=0  }\)

Całka druga

Po wyciągnięciu przed całkę stałych, mamy

\(\displaystyle{P_2=\frac{\omega\cdot F_0\cdot A\sin\varphi}{T}\int_{0}^{T} \cos^2(\omega t) \,\mathrm{d}t }\)

Po zastosowaniu wzoru \(\displaystyle{\cos^2\alpha=\frac{\cos 2\alpha+1}{2} }\), otrzymujemy

\(\displaystyle{P_2=\frac{\omega\cdot F_0\cdot A\sin\varphi}{2T}\int_{0}^{T} \left (\cos(2\omega t)+1\right ) \,\mathrm{d}t }\)

\(\displaystyle{P_2=\frac{\omega\cdot F_0\cdot A\sin\varphi}{2T} \left \{\frac{1}{2\omega}\left [\sin 2\omega t\right ]_0^T+\left [ t\right ]_0^T\right \} }\)

\(\displaystyle{P_2=\frac{\omega\cdot F_0\cdot A\sin\varphi}{2T} \left [\frac{1}{2\omega}\left(\sin 2\omega \frac{2\pi}{\omega}-\sin 0\right )+T-0\right ] }\)

\(\displaystyle{P_2=\frac{\omega\cdot F_0\cdot A\sin\varphi}{2T} \left (0+T\right ) }\)

\(\displaystyle{P_2=\frac{\omega\cdot F_0\cdot A\sin\varphi}{2} }\)

Wynik

Ostatecznie mamy

\(\displaystyle{\left \langle P \right \rangle=P_1+P_2=0+\frac{\omega\cdot F_0\cdot A\sin\varphi}{2} }\)
 
\(\displaystyle{\left \langle P \right \rangle=\frac{\omega\cdot F_0\cdot A\cdot \sin\varphi}{2} }\)