Zadanie 6.4.2.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.4. Drgania tłumione, wymuszone i złożone.
  4. 6.4.2. Trening
  5. Zadanie 6.4.2.1

 Zadanie 6.4.2.1

Drgania tłumione
Ciało o masie \(0,8\,\mathrm{kg}\) jest podwieszone do pionowej sprężyny z \(\displaystyle{k=42\,\mathrm{\frac{N}{m}}}\). Ciało to jest zanurzone w cieczy, która działa na ciało siłą oporu \(F = -bv\), gdzie \(\displaystyle{b=0,7\,\mathrm{\frac{Ns}{m}}}\). Wyznacz okres drgań tłumionych oraz wartość fazy początkowej w tym ruchu, jeśli dla \(t = 0\), \(x = 0\).

Wskazówka: Przyjąć rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{x(t)=A_0\exp \left ( -\frac{b}{2m}t\right)\cdot\cos (\omega ' t+\varphi) }\)

gdzie \(\displaystyle{\omega '=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}} }\)

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa drgającego ciała \(m=0,8\,\mathrm{kg}\),
- współczynnik sprężystości sprężyny \(\displaystyle{k=42\,\mathrm{\frac{N}{m}}}\),
- siła oporu cieczy \(F = -bv\), gdzie \(\displaystyle{b=0,7\,\mathrm{\frac{Ns}{m}}}\),
- warunki początkowe \(t = 0\), \(x = 0\).

Szukane:
- okres drgań tłumionych \(T\),
- wartość fazy początkowej w tym ruchu \(\varphi\).

Odpowiedź

Okres drgań tłumionych wynosi \(T=0,87\,\mathrm{s}\), a wartość fazy początkowej to \(\varphi=\pm 0,5\pi\).

Polecenie

Wyznacz okres drgań tłumionych. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(T=0,06\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(T=0,87\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

\(T=1,2\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(T=14\,\mathrm{s}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Policzmy najpierw częstość drgań wymuszonych

\(\displaystyle{\omega '=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}} }\)

\(\displaystyle{\omega '=\sqrt{\frac{42}{0,8}-\frac{0,7^2}{4\cdot 0,8^2}}=7,22\,\mathrm{\frac{rad}{s}} }\)

Ze wzoru na częstość drgań tłumionych wyznaczamy okres drgań

\(\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega '}=\frac{2\pi}{7,22}=0,87\,\mathrm{s} }\)

Polecenie

Wyznacz wartość fazy początkowej. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\varphi=\pm 0,5\pi\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\varphi=\pm \pi\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Teraz skorzystamy z warunków początkowych dla podanej postaci rozwiązania

\(\displaystyle{x(t)=A_0\exp \left ( -\frac{b}{2m}t\right)\cdot\cos (\omega ' t+\varphi) }\),

które po podstawieniu obliczonych wartości ma postać

\(\displaystyle{x(t)=A_0\exp \left ( -\frac{0,7}{2\cdot 0,8}t\right)\cdot\cos (7,22\, t+\varphi) }\)

Teraz wykorzystujemy warunki początkowe

\(\displaystyle{x(t=0)=A_0\exp \left ( -\frac{0,7}{2\cdot 0,8}\cdot 0\right)\cdot\cos (7,22\cdot 0+\varphi) }\)

\(\displaystyle{x(t=0)=A_0\exp \left ( 0\right)\cdot\cos (\varphi) }\)

\(\displaystyle{A_0\cos (\varphi)=0 }\)

Ampituda drgania jest większa od zera, zatem \(\cos (\varphi)=0\). Równość ta zachodzi dla kątów \(\varphi=\pm 0,5\pi\).

Odpowiedź

Okres drgań tłumionych wynosi \(T=0,87\,\mathrm{s}\), a wartość fazy początkowej to \(\varphi=\pm 0,5\pi\).