Zadanie 6.5.1.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.5. Rodzaje fal
  4. 6.5.1. Nauka
  5. Zadanie 6.5.1.1

 Zadanie 6.5.1.1

Fala poprzeczna
Równanie fali poprzecznej propagującej się wzdłuż naciągniętej długiej struny ma postać \(u(x,t)=0,04\cos (0,05\pi\cdot x+6\pi\cdot t)\) (w SI).
Wyznacz lub oblicz: amplitudę, długość fali, częstotliwość, kierunek rozchodzenia się fali, maksymalną prędkość poprzeczną elementów struny, prędkość fazową.

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - fale
Falą sprężystą nazywamy proces rozchodzenie się w ośrodku sprężystym zaburzenia stanu równowagi tego ośrodka, któremu towarzyszy przekazywanie energii pomiędzy różnymi punktami ośrodka.
Stan równowagi ośrodka, o którym mowa w powyższej definicji, oznacza tutaj taki stan ośrodka sprężystego, w którym nie obserwuje się żadnych przepływów jakiejkolwiek wielkości fizycznej (np. masy, ładunku, energii, pędu) pomiędzy dwoma różnymi punktami tego ośrodka.

Fale sprężyste dzieli się na  fale podłużne i  poprzeczne. Podstawą tej klasyfikacji jest geometryczna relacja, w jakiej pozostają do siebie kierunek rozchodzenia się fali oraz kierunek drgań cząsteczek (fragmentów) ośrodka sprężystego. Jeśli więc kierunki te są prostopadłe, to mówimy, że fala jest poprzeczna.

Równanie opisujące falę ma postać

\(u(x,t)=A\cos (\omega\cdot t\pm k\cdot x)\)

gdzie \(A\) jest amplitudą, \(\omega\) - częstością kołową fali \(\displaystyle{\omega= \frac{2\pi}{T} }\), \(k\) jest liczbą falową lub też wektorem falowym \(\displaystyle{k= \frac{2\pi}{\lambda} }\), \(\lambda\) to długość fali \(\lambda=c\cdot T\) (\(c\) jest prędkością fazową fali).

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- równanie fali poprzecznej \(u(x,t)=0,04\cos (0,05\pi\cdot x+6\pi\cdot t)\) (w SI).

Szukane:
- amplituda \(A\),
- długość fali \(\lambda\),
- częstotliwość \(f\),
- kierunek rozchodzenia się fali,
- maksymalna prędkość poprzeczna elementów struny \(v_{max}\),
- prędkość fazową \(c\).

Analiza sytuacji

Zadanie polega na poprawnym czytaniu podanej postaci równania fali biegnącej, czyli posługiwaniu się podstawowymi pojęciami związanymi z ruchem falowym.
Równanie

\(u(x,t)=A\cos (\omega\cdot t\pm k\cdot x)\)

opisuje falę biegnącą w kierunku dodatnim osi \(OX\), jeśli faza ma postać \(\omega\cdot t- k\cdot x\) i biegnącą w kierunku ujemnym, gdy \(\omega\cdot t+ k\cdot x\). Zatem fala z zadania biegnie w ujemnym kierunku osi \(OX\). Następny etap rozwiązania polega na odczytaniu odpowiednich wielkości z równania fali.

Rozwiązanie

Równanie fali poprzecznej ma postać \(u(x,t)=0,04\cos (0,05\pi\cdot x+6\pi\cdot t)\). Na jego podstawi mamy

Amplituda wynosi \(A=0,04\,\mathrm{m}\)
Wektor falowy ma wartość \(\displaystyle{k=0,05\pi \,\mathrm{\frac{1}{m}} }\)
Długość fali obliczamy:

\(\displaystyle{k= \frac{2\pi}{\lambda}\rightarrow \lambda= \frac{2\pi}{k} }\)

\(\displaystyle{\lambda= \frac{2\pi}{0,05\pi}=40\,\mathrm{m} }\)

Okres fali wyznaczamy:

\(\displaystyle{\omega=6\pi = \frac{2\pi}{T}\rightarrow T=\frac{2\pi}{6\pi} }\)

\(\displaystyle{T=\frac{1}{3}\,\mathrm{s} }\)

Częstotliwość zatem wynosi
\(\displaystyle{f=\frac{1}{T}=3\,\mathrm{Hz} }\).

Prędkość poprzeczna (prędkość cząsteczek ośrodka wykonujących ruch harmoniczny prosty) liczymy korzystając ze wzoru

\(\displaystyle{v(x,t)=\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=-\omega A\sin (\omega\cdot t +k\cdot x+\varphi) }\)

Maksymalna wartość prędkości cząsteczek wynosi \(v_{max}=\omega A\)

\(v_{max}=6\pi\cdot 0,04\)

\(\displaystyle{v_{max}=0,75 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Prędkość fazowa tej fali wynosi

\(\displaystyle{c=\frac{\omega}{k}=\frac{6\pi}{0,05\pi}}\)

\(\displaystyle{c=120 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź

Amplituda fali wynosi \(A=0,04\,\mathrm{m}\), długość fali ma wartość \(\displaystyle{\lambda=40\,\mathrm{m} }\), częstotliwość zaś ma wartość \(f=3\,\mathrm{Hz} \). Fala z zadania biegnie w ujemnym kierunku osi \(OX\). Maksymalna prędkość poprzeczna elementów strun wynosi \(\displaystyle{v_{max}=0,75 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\), zaś prędkość fazowa \(\displaystyle{c=120 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).