Zadanie 6.5.1.2

Poprzeczna fal stojąca

Znajdź częstotliwość drgań dla poprzecznej fali stojącej, powstałej w strunie o długości

$0,5\,\mathrm{m}$ , zamocowanej w obu końcach i odpowiednio naciągniętej. Oblicz wartość naprężenia struny, jeśli masa struny przypadająca na jednostkę długości wynosi

$\displaystyle{\mu=0,01 \,\mathrm{\frac{kg}{m}} }$ , a podstawowa częstotliwość drgań ma wartość

$f_1=247\,\mathrm{Hz}$ .

Wskazówka teoretyczna

Teoria - poprzeczna fal stojąca

Fale sprężyste dzieli się na fale podłużne i poprzeczne. Podstawą tej klasyfikacji jest geometryczna relacja, w jakiej pozostają do siebie kierunek rozchodzenia się fali oraz kierunek drgań cząsteczek (fragmentów) ośrodka sprężystego. Jeśli więc kierunki te są prostopadłe, to mówimy, że fala jest poprzeczna.

Fala stojąca powstaje w wyniku nakładania się dwóch fal o jednakowych amplitudach i częstościach, ale rozchodzących się w dwóch przeciwnych kierunkach.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- długość struny $L=0,5\,\mathrm{m}$ ,
- masa struny przypadająca na jednostkę długości $\displaystyle{\mu=0,01 \,\mathrm{\frac{kg}{m}} }$ ,
- podstawowa częstotliwość drgań $f_1=247\,\mathrm{Hz}$ .

Szukane:
- częstotliwość drgań $f_n$ ,
- wartość naprężenia struny $F_0$ .

Analiza sytuacji

Fala stojąca, która powstaje w strunie zamocowanej w obu końcach, w wyniku nakładania się fali biegnącej i odbitej, musi charakteryzować się tym, że na końcach struny będą węzły fali stojącej, lub inaczej mówiąc, długość jeszcze niedrgającej struny musi być równa całkowitej wielokrotności połówek długości fali.

Możemy zapisać

$\displaystyle{\lambda_n=2 \frac{L}{n} }$ gdzie

$n=1,2,3,...$

Częstotliwość drań struny wynosi

$\displaystyle{f_n= \frac{v}{\lambda_n}=\frac{v}{2L}n }$

gdzie

$v$ jest prędkością rozchodzenia się fali wzdłuż struny. Można pokazać, że prędkość wyraża się następującą zależnością

$\displaystyle{v=\sqrt{\frac{F_0}{\mu}} }$

W celu wyprowadzenia wzoru na zależność prędkości

$v$ fali od siły

$F_0$ naprężającej strunę i od masy przypadającej na jednostkę długości struny, rozpatrzmy wycinek struny o długości

$\mathrm{d}x$

Końce wycinka struny tworzą z osią

$x$ małe kąty

$\alpha_1$ oraz

$\alpha_2$ . Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca strunę w kierunku

$y$ wynosi

$F_w=F\sin \alpha_2-F\sin\alpha_1$

Dla małych kątów mamy

$\displaystyle{\alpha\approx\sin\alpha\approx \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} }$

$F_w=F \alpha_2-F\alpha_1$

Siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka

$\mathrm{d}m=\mu\mathrm{d}x$ i jego przyspieszenia

$F_w=a\cdot \mathrm{d}m$

$\displaystyle{F_w=\mu\mathrm{d}x \frac{\partial v_y }{\partial t}=\mu\mathrm{d}x \frac{\partial^2 y }{\partial t^2} }$
lub

$\displaystyle{\frac{\partial \alpha }{\partial x}=\frac{\mu}{F}\frac{\partial^2 y }{\partial t^2} }$
Uwzględniając, że

$\displaystyle{\alpha=\frac{\partial y }{\partial x} }$ otrzymujemy

$\displaystyle{\frac{\partial^2 y }{\partial x^2}=\frac{\mu}{F}\frac{\partial^2 y }{\partial t^2} }$

Jest to równanie falowe dla struny. Podstawmy teraz do tego równania odpowiednie pochodne równania fali harmonicznej

$y=A\sin(kx-\omega t)$ . Wykonujemy kolejno różniczkowanie po czasie i następnie po położeniu.

$\displaystyle{\frac{\partial^2 y }{\partial t^2}=\frac{\partial \left [-A\omega\cos(kx-\omega t)\right ] }{\partial t} }$

$\displaystyle{\frac{\partial^2 y }{\partial t^2}=-A\omega^2\sin(kx-\omega t)\ }$

$\displaystyle{\frac{\partial^2 y }{\partial x^2}=\frac{\partial \left [Ak\cos(kx-\omega t)\right ] }{\partial t} }$

$\displaystyle{\frac{\partial^2 y }{\partial x^2}=-Ak^2\sin(kx-\omega t)\ }$

Wracamy teraz do równania

$\displaystyle{\frac{\partial^2 y }{\partial x^2}=\frac{\mu}{F}\frac{\partial^2 y }{\partial t^2} }$ i po podstawieniu, mamy

$\displaystyle{-Ak^2\sin(kx-\omega t)=-\frac{\mu}{F}A\omega^2\sin(kx-\omega t) }$

$\displaystyle{k^2=\frac{\mu}{F}\omega^2 }$

$\displaystyle{\omega^2=\frac{F}{\mu}k^2 }$

Prędkość fali będzie więc wynosić

$\displaystyle{v=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{k}\sqrt{\frac{F}{\mu}}\sqrt{k^2} }$

$\displaystyle{v=\sqrt{\frac{F}{\mu}} }$

Rozwiązanie

Częstotliwość drań dla ustalonej liczby $n$ wynosi

$\displaystyle{f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F_0}{\mu}} }$

Z powyższego wzoru wyznaczamy szukane w zadaniu napięcie struny dla podstawowej częstotliwości (

$n=1$ ) drgań fali stojącej.

$F_0=4L^2\mu f_1^2$

$F_0=4\dot (0,5)^2\cdot 0,01 \cdot 247^2=610\,\mathrm{N}$

$\displaystyle{\left [\,\mathrm{m^2\cdot \frac{kg}{m}\cdot \frac{1}{s^2}=\frac{m}{s^2}\cdot kg=N }\right ]}$

Odpowiedź

Częstotliwość drgań dla poprzecznej fali stojącej, powstałej w strunie wynosi $\displaystyle{f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{F_0}{\mu}} }$ , natomiast wartość naprężenia struny ma wartość $F_0=610\,\mathrm{N}$ .

Zadanie 6.5.1.1

Zadanie 6.5.1.3

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta