Zadanie 6.5.1.3
Fala monochromatyczna
Monochromatyczna fala rozchodzi się wzdłuż osi \(OX\). Jej amplituda wynosi \(0,01\,\mathrm{ m}\), długość fali \(0,4\,\mathrm{m}\), a częstotliwość \(8\,\mathrm{Hz}\). Poprzeczne wychylenie punktów ośrodka sprężystego dla \(t = 0\) wynosi \(0,01\,\mathrm{m}\). Wyznacz wektor falowy \(k\), okres \(T\), częstość kołową \(\omega\). Określ wartość fazy początkowej oraz podaj równanie fali.
Wskazówka teoretyczna
Teoria - fala
Fala monochromatyczna to fala o niezmieniającej się częstotliwości i stałej amplitudzie. Falę taką opisuje zależność:
gdzie \(A\) - amplituda, \(\omega\) - częstość kołowa \(\displaystyle{\omega= \frac{2\pi}{T} }\), \(k\) - wektor falowy \(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda} }\), \(x\) - poprzeczne wychylenie punktów ośrodka sprężystego, \(\varphi\) - faza początkowa.
\(u(x,t)=A\cos(\omega\cdot t-k\cdot x+\varphi)\)
gdzie \(A\) - amplituda, \(\omega\) - częstość kołowa \(\displaystyle{\omega= \frac{2\pi}{T} }\), \(k\) - wektor falowy \(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda} }\), \(x\) - poprzeczne wychylenie punktów ośrodka sprężystego, \(\varphi\) - faza początkowa.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- amplituda fali \(A=0,01\,\mathrm{ m}\),
- długość fali \(\lambda=0,4\,\mathrm{m}\),
- częstotliwość \(f=8\,\mathrm{Hz}\),
- poprzeczne wychylenie punktów ośrodka sprężystego \(x=0,01\,\mathrm{m}\).
Szukane:
- wektor falowy \(k\),
- okres \(T\),
- faza początkowa \(\varphi\),
- równanie fali.
Analiza sytuacji
Poszukujemy równania dla fali w postaci
\(u(x,t)=A\cos(\omega\cdot t-k\cdot x+\varphi)\)
Wartość amplitudy mamy podaną w treści zadania: \(A=0,01\,\mathrm{ m}\)
Wektor falowy wynosi:
\(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0,4} }\)
\(k=15,7\,\mathrm{m^{-1}}\)
Okres:\(\displaystyle{T=\frac{1}{f}=\frac{1}{8}=0,125\,\mathrm{s} }\)
Częstość kołowa:
\(\displaystyle{\omega= \frac{2\pi}{T}= \frac{2\pi}{0,125}=16\pi\,\mathrm{s^{-1}} }\)
Zatem równanie fali:
\(u(x,t)=0,01\cos(16\pi\cdot t-15,7\cdot x+\varphi)\) (w SI)
Pozostaje wyznaczyć fazę początkową.
Rozwiązanie
Z danych w zadaniu otrzymujemy
\(u(x=0,01, t=0)=0,01\cos(16\pi\cdot 0-15,7\cdot 0,01+\varphi) \)
\(0,01=0,01\cos(-15,7\cdot 0,01+\varphi) \)
\(1=\cos(-15,7\cdot 0,01+\varphi) \)
Wartość funkcji cosiuns wynosi \(1\) dla kąta \(0\):
\(0=-15,7\cdot 0,01+\varphi \)
\(\varphi=0,157\,\mathrm{rad} \)
Ostatecznie mamy
\(u(x,t)=0,01\cos(16\pi\cdot t-15,7\cdot x+0,157)\) (w SI)
Odpowiedź
Szukane wielkości maja wartości:
- wektor falowy \(k=15,7\,\mathrm{m^{-1}}\),
- okres \(\displaystyle{T=0,125\,\mathrm{s} }\),
- częstość kołowa \(\displaystyle{\omega=16\pi\,\mathrm{s^{-1}} }\),
- faza początkowa \(\varphi=0,157\,\mathrm{rad} \),
- równanie fali \(u(x,t)=0,01\cos(16\pi\cdot t-15,7\cdot x+0,157)\) (w SI).