Zadanie 6.5.1.4
Kierunek propagacji
Pokazać, że równanie fali \(u(x,t)=A\cos(\omega\cdot t+k\cdot x+\varphi)\) opisuje falę rozchodzącą się w ujemnym kierunku osi \(OX\).
Wskazówka teoretyczna
Teoria - fala
Fala monochromatyczna to fala o niezmieniającej się częstotliwości i stałej amplitudzie. Falę taką opisuje zależność:
gdzie \(A\) - amplituda, \(\omega\) - częstość kołowa \(\displaystyle{\omega= \frac{2\pi}{T} }\), \(k\) - wektor falowy \(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda} }\), \(x\) - poprzeczne wychylenie punktów ośrodka sprężystego, \(\varphi\) - faza początkowa.
\(u(x,t)=A\cos(\omega\cdot t-k\cdot x+\varphi)\)
gdzie \(A\) - amplituda, \(\omega\) - częstość kołowa \(\displaystyle{\omega= \frac{2\pi}{T} }\), \(k\) - wektor falowy \(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda} }\), \(x\) - poprzeczne wychylenie punktów ośrodka sprężystego, \(\varphi\) - faza początkowa.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Analiza sytuacji
Faza opisanej fali wynosi
\(\Phi(x,t)=\omega\cdot t+k\cdot x+\varphi\)
której stała wartość biegnie z prędkością fazową obliczaną w następujący sposób
\(\mathrm{d}\Phi(x,t)=\omega\cdot \mathrm{d}t+k\cdot \mathrm{d}x=0\)
\(\omega\cdot \mathrm{d}t+k\cdot \mathrm{d}x=0\)
\(k\cdot \mathrm{d}x=-\omega\cdot \mathrm{d}t\)
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\frac{\omega}{k} }\)
Prędkość fali możemy opisać zależnością: \(\displaystyle{c= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} }\)i tak otrzymujemy
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\frac{\omega}{k}=-\frac{\lambda}{T} <0 }\)
Stąd wynika, że fala biegnie w ujemnym kierunku osi \(OX\).