Zadanie 6.5.1.5
Drganie źródła a równanie fali
Drganie źródła fali opisuje zależność \(u(t)=10\sin (0,5\pi t)\,\mathrm{cm}\). Znajdź równanie fali płaskiej, jeżeli prędkość rozchodzenia się fali wynosi \(300\displaystyle{ \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\). Jak będzie długość powstałej fali?
Wskazówka teoretyczna
Teoria - fala
Fala monochromatyczna to fala o niezmieniającej się częstotliwości i stałej amplitudzie. Falę taką opisuje zależność:
gdzie \(A\) - amplituda, \(\omega\) - częstość kołowa \(\displaystyle{\omega= \frac{2\pi}{T} }\), \(k\) - wektor falowy \(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda} }\), \(x\) - poprzeczne wychylenie punktów ośrodka sprężystego, \(\varphi\) - faza początkowa.
\(u(x,t)=A\cos(\omega\cdot t-k\cdot x+\varphi)\)
gdzie \(A\) - amplituda, \(\omega\) - częstość kołowa \(\displaystyle{\omega= \frac{2\pi}{T} }\), \(k\) - wektor falowy \(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda} }\), \(x\) - poprzeczne wychylenie punktów ośrodka sprężystego, \(\varphi\) - faza początkowa.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- prędkość rozchodzenia się fali \(v=300\displaystyle{ \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- równanie drgań źródła fali \(u(t)=10\sin (0,5\pi t)\,\mathrm{cm}\).
Szukane:
- równanie fali płaskiej,
- długość powstałej fali \(\lambda\).
Analiza sytuacji
Ogólna postać równania źródła drgań jest następująca
\(u(t)=A\sin (\omega t+\varphi)\)
gdzie \(A\) jest amplitudą, \(\omega\) częstością kołową, a \(\varphi\) fazą początkową drgań.
Z porównania powyższego wzoru i zależności podanej w treści zadania, mamy
\(\varphi=0\) oraz \(A=10\,\mathrm{cm}\) oraz \(\omega=0,5\pi\,\mathrm{s^{-1}}\)
Równanie drgań w dowolnym punkcie o współrzędnej \(x\), czyli równanie fali płaskiej rozchodzącej się wzdłuż osi \(OX\) ma postać
\(u(x,t)=A\sin (\omega t-kx+\varphi)\)
gdzie \(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda} }\) jest liczbą falową, a \(\lambda\) długością fali. Aby zapisać równanie fali dla drgań opisanych w zadaniu należy wyrazić liczbę falową za pomocą wielkości znanych:
\(\displaystyle{\lambda=vT=v\frac{2\pi}{\omega} }\)
\(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi\omega}{2\pi v}=\frac{\omega}{v} }\)
Zatem równanie fali można zapisać
\(\displaystyle{u(x,t)=A\sin (\omega t-\frac{\omega}{v}x+\varphi) }\)
Podstawiając dane liczbowe
\(\displaystyle{u(x,t)=0,1\sin (0,5\pi t-\frac{0,5\pi}{300}x) }\) (w SI)
Długość fali wynosi
\(\displaystyle{\lambda=v\frac{2\pi}{\omega}=300\frac{2\pi}{0,5\pi} }\)
\(\lambda=1200\,\mathrm{m}\)
Odpowiedź
Równanie fali płaskiej ma postać \(\displaystyle{u(x,t)=0,1\sin (0,5\pi t-\frac{\pi}{600}x) }\) (w SI), a długość powstałej fali ma wartość \(\lambda=1200\,\mathrm{m}\).