Processing math: 100%
Zadanie 6.6.1.1

 Zadanie 6.6.1.1

Prędkość fazowa i grupowa
Prędkość fazowa fal o długości λ rozchodzących się na powierzchni wody wyraża się wzorem v=gλ2π+2πσλρ, gdzie σ jest napięciem powierzchniowym wody, a ρ jej gęstością.

a) Znajdź prędkość grupową tych fal.
b) Podaj zależność dla prędkości fazowej i grupowej w dwóch przypadkach szczególnych λ0 (fale kapilarne) oraz λ (fale morskie).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - prędkości fal
Prędkość fazowa v – prędkość rozprzestrzeniania się fazy fali w danym ośrodku.

Prędkość grupowa vg - prędkość poruszania się paczki (grupy) fal, nazywana również prędkością amplitudową, ponieważ jest ona równa prędkości przesuwania się punktów o stałej amplitudzie, a co za tym idzie jest ona równa prędkości przenoszenia energii przez falę.

vg=dωdk=vλdvdλ

ω - częstość kołowa, k - wektor falowy, λ - długość fali.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- zależność opisująca prędkość fazowa fal v=gλ2π+2πσλρ,
- napięcie powierzchniowe wody σ,
- gęstość wody ρ,
- długość fali λ,
- przyspieszenie ziemskie g.

Szukane:
- prędkość grupowa vg,
- zależność dla prędkości fazowej i grupowej w dwóch przypadkach szczególnych.

Prędkość grupowa

W momencie, gdy znamy prędkość fazową fali o długości λ, to jej prędkość grupową wyznaczamy z zależności

vg=dωdk=vλdvdλ

Należy więc wyznaczyć
dvdλ=ddλgλ2π+2πσλρ

dvdλ=ddλ(gλ2π+2πσλρ)0,5 dvdλ=12(gλ2π+2πσλρ)0,5ddλ(gλ2π+2πσλρ)
dvdλ=12gλ2π+2πσλρ(g2π2πσρλ2)

Otrzymany wynik podstawiamy do równania

vg=vλdvdλ
vg=gλ2π+2πσλρλg2π2πσρλ22gλ2π+2πσλρ vg=2gλ2π+4πσλρ2gλ2π+2πσλρλg2π2πσρλ2gλ2π+2πσλρ

vg=λg2π+6πσρλ2gλ2π+2πσλρ

W zależności od dominującej siły wywołującej ruch falowy, fale na powierzchni wody można podzielić na trzy rodzaje:
  • fale kapilarne,
  • fale grawitacyjne,
  • fale kapilarno-grawitacyjne.
Dla fal kapilarnych główną siłą jest siła napięcia powierzchniowego cieczy. Napięcie powierzchniowe jest znaczące wtedy, gdy powierzchnia cieczy jest silnie zakrzywiona, oznacza to, że fale kapilarne to te, które mają  stosunkowo niewielką długość. Dla fal długich natomiast decydującą siłą będzie siła grawitacji. Fale powierzchniowe o długościach pośrednich to fale kapilarno-grawitacyjne.

Zależność dla prędkości fazowej i grupowej

Rozważmy najpierw przypadek λ0.

W tym przypadku, występujący we wzorach na prędkość fazową i grupową składnik gλ2π, dąży do zera i staje się zaniedbywalnie mały w porównaniu zez składnikiem 2πσλρ. W takiej sytuacji otrzymujemy uproszczone wzory:

- na prędkość fazową v=2πσλρ;

- na prędkość grupową vg=6πσρλ22πσλρ=322πσλρ.

W przypadku gdy λ, składnik 2πσλρ staje się pomijalnie mały w porównaniu ze składnikiem gλ2π. Tym razem otrzymujemy wzory:

- na prędkość fazową v=gλ2π;

- na prędkość grupową vg=λg2π2gλ2π=12gλ2π.

Z otrzymanych zależności można wywnioskować, że w przypadku fal kapilarnych prędkość fazowa i grupowa w istotny sposób zależą od napięcia powierzchniowego. W przypadku fal morskich zanika zależność tych prędkości od napięcia powierzchniowego, a istotna staje się zależność od sił grawitacji.

Odpowiedź

Prędkość grupowa tych fal wynosi vg=λg2π+6πσρλ2gλ2π+2πσλρ.

W przypadku fal kapilarnych prędkość fazowa wynosi v=2πσλρ, prędkość grupowa przyjmuje wartość vg=322πσλρ.

W przypadku fal morskich prędkość fazowa wynosi v=gλ2π, prędkość grupowa przyjmuje wartość vg=12gλ2π.