Zadanie 6.6.1.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.6. Prędkość w ruchu falowym.
  4. 6.6.1. Nauka
  5. Zadanie 6.6.1.1

 Zadanie 6.6.1.1

Prędkość fazowa i grupowa
Prędkość fazowa fal o długości \(\lambda\) rozchodzących się na powierzchni wody wyraża się wzorem \(\displaystyle{v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}} }\), gdzie \(\sigma\) jest napięciem powierzchniowym wody, a \(\rho\) jej gęstością.

a) Znajdź prędkość grupową tych fal.
b) Podaj zależność dla prędkości fazowej i grupowej w dwóch przypadkach szczególnych \(\lambda \rightarrow 0 \) (fale kapilarne) oraz \(\lambda \rightarrow \infty\) (fale morskie).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - prędkości fal
Prędkość fazowa \(v\) – prędkość rozprzestrzeniania się fazy fali w danym ośrodku.

Prędkość grupowa \(v_g\) - prędkość poruszania się paczki (grupy) fal, nazywana również prędkością amplitudową, ponieważ jest ona równa prędkości przesuwania się punktów o stałej amplitudzie, a co za tym idzie jest ona równa prędkości przenoszenia energii przez falę.

\(\displaystyle{v_g= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d} k}=v-\lambda\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} \lambda} }\)

\(\omega\) - częstość kołowa, \(k\) - wektor falowy, \(\lambda\) - długość fali.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- zależność opisująca prędkość fazowa fal \(\displaystyle{v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}} }\),
- napięcie powierzchniowe wody \(\sigma\),
- gęstość wody \(\rho\),
- długość fali \(\lambda\),
- przyspieszenie ziemskie \(g\).

Szukane:
- prędkość grupowa \(v_g\),
- zależność dla prędkości fazowej i grupowej w dwóch przypadkach szczególnych.

Prędkość grupowa

W momencie, gdy znamy prędkość fazową fali o długości \(\lambda\), to jej prędkość grupową wyznaczamy z zależności

\(\displaystyle{v_g= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d} k}=v-\lambda\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} \lambda} }\)

Należy więc wyznaczyć
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} \lambda}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda}\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}} }\)

 \[\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} \lambda}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda}\left (\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}\right )^{0,5} }\] \[\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} \lambda}=\frac{1}{2}\left (\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}\right )^{-0,5} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda}\left (\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}\right ) }\] 
\(\displaystyle{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} \lambda}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}} \left (\frac{g}{2\pi}-\frac{2\pi\sigma}{\rho\lambda^2} \right ) }\)

Otrzymany wynik podstawiamy do równania

\(\displaystyle{v_g=v-\lambda\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} \lambda} }\)
 \[\displaystyle{v_g=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}-\lambda\frac{\frac{g}{2\pi}-\frac{2\pi\sigma}{\rho\lambda^2}}{2\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}} }\] \[\displaystyle{v_g=\frac{\frac{2g\lambda}{2\pi}+\frac{4\pi\sigma }{\lambda\rho}}{2\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}}-\frac{\frac{\lambda g}{2\pi}-\frac{2\pi\sigma}{\rho\lambda}}{2\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}} }\] 

\(\displaystyle{v_g=\frac{\Large{\frac{\lambda g}{2\pi}+\frac{6\pi\sigma}{\rho\lambda}} }{2\sqrt{\large{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}}}  }\)

W zależności od dominującej siły wywołującej ruch falowy, fale na powierzchni wody można podzielić na trzy rodzaje:
  • fale kapilarne,
  • fale grawitacyjne,
  • fale kapilarno-grawitacyjne.
Dla fal kapilarnych główną siłą jest siła napięcia powierzchniowego cieczy. Napięcie powierzchniowe jest znaczące wtedy, gdy powierzchnia cieczy jest silnie zakrzywiona, oznacza to, że fale kapilarne to te, które mają  stosunkowo niewielką długość. Dla fal długich natomiast decydującą siłą będzie siła grawitacji. Fale powierzchniowe o długościach pośrednich to fale kapilarno-grawitacyjne.

Zależność dla prędkości fazowej i grupowej

Rozważmy najpierw przypadek \(\lambda \rightarrow 0\).

W tym przypadku, występujący we wzorach na prędkość fazową i grupową składnik \(\displaystyle{\frac{g\lambda}{2\pi}}\), dąży do zera i staje się zaniedbywalnie mały w porównaniu zez składnikiem \(\displaystyle{\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}\). W takiej sytuacji otrzymujemy uproszczone wzory:

- na prędkość fazową \(\displaystyle{v=\sqrt{\frac{2\pi\sigma}{\lambda\rho}} }\);

- na prędkość grupową \(\displaystyle{v_g=\frac{\frac{6\pi\sigma}{\rho\lambda}}{2\sqrt{\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}  }\).

W przypadku gdy \(\lambda \rightarrow \infty \), składnik \(\displaystyle{\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}\) staje się pomijalnie mały w porównaniu ze składnikiem \(\displaystyle{\frac{g\lambda}{2\pi}}\). Tym razem otrzymujemy wzory:

- na prędkość fazową \(\displaystyle{v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}} }\);

- na prędkość grupową \(\displaystyle{v_g=\frac{\frac{\lambda g}{2\pi}}{2\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}  }\).

Z otrzymanych zależności można wywnioskować, że w przypadku fal kapilarnych prędkość fazowa i grupowa w istotny sposób zależą od napięcia powierzchniowego. W przypadku fal morskich zanika zależność tych prędkości od napięcia powierzchniowego, a istotna staje się zależność od sił grawitacji.

Odpowiedź

Prędkość grupowa tych fal wynosi \(\displaystyle{v_g=\frac{\frac{\lambda g}{2\pi}+\frac{6\pi\sigma}{\rho\lambda}}{2\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}+\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}}  }\).

W przypadku fal kapilarnych prędkość fazowa wynosi \(\displaystyle{v=\sqrt{\frac{2\pi\sigma}{\lambda\rho}} }\), prędkość grupowa przyjmuje wartość \(\displaystyle{v_g=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2\pi\sigma }{\lambda\rho}}  }\).

W przypadku fal morskich prędkość fazowa wynosi \(\displaystyle{v=\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}} }\), prędkość grupowa przyjmuje wartość \(\displaystyle{v_g=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}  }\).