Zadanie 6.6.1.1
a) Znajdź prędkość grupową tych fal.
b) Podaj zależność dla prędkości fazowej i grupowej w dwóch przypadkach szczególnych λ→0 (fale kapilarne) oraz λ→∞ (fale morskie).
Wskazówka teoretyczna
Prędkość grupowa vg - prędkość poruszania się paczki (grupy) fal, nazywana również prędkością amplitudową, ponieważ jest ona równa prędkości przesuwania się punktów o stałej amplitudzie, a co za tym idzie jest ona równa prędkości przenoszenia energii przez falę.
ω - częstość kołowa, k - wektor falowy, λ - długość fali.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- zależność opisująca prędkość fazowa fal v=√gλ2π+2πσλρ,
- napięcie powierzchniowe wody σ,
- gęstość wody ρ,
- długość fali λ,
- przyspieszenie ziemskie g.
Szukane:
- prędkość grupowa vg,
- zależność dla prędkości fazowej i grupowej w dwóch przypadkach szczególnych.
Prędkość grupowa
W momencie, gdy znamy prędkość fazową fali o długości λ, to jej prędkość grupową wyznaczamy z zależności
Należy więc wyznaczyć
dvdλ=ddλ(gλ2π+2πσλρ)0,5 dvdλ=12(gλ2π+2πσλρ)−0,5ddλ(gλ2π+2πσλρ)
Otrzymany wynik podstawiamy do równania
- fale kapilarne,
- fale grawitacyjne,
- fale kapilarno-grawitacyjne.
Zależność dla prędkości fazowej i grupowej
Rozważmy najpierw przypadek λ→0.
W tym przypadku, występujący we wzorach na prędkość fazową i grupową składnik gλ2π, dąży do zera i staje się zaniedbywalnie mały w porównaniu zez składnikiem 2πσλρ. W takiej sytuacji otrzymujemy uproszczone wzory:
- na prędkość fazową v=√2πσλρ;
- na prędkość grupową vg=6πσρλ2√2πσλρ=32√2πσλρ.
W przypadku gdy λ→∞, składnik 2πσλρ staje się pomijalnie mały w porównaniu ze składnikiem gλ2π. Tym razem otrzymujemy wzory:
- na prędkość fazową v=√gλ2π;
- na prędkość grupową vg=λg2π2√gλ2π=12√gλ2π.
Z otrzymanych zależności można wywnioskować, że w przypadku fal kapilarnych prędkość fazowa i grupowa w istotny sposób zależą od napięcia powierzchniowego. W przypadku fal morskich zanika zależność tych prędkości od napięcia powierzchniowego, a istotna staje się zależność od sił grawitacji.
Odpowiedź
Prędkość grupowa tych fal wynosi vg=λg2π+6πσρλ2√gλ2π+2πσλρ.
W przypadku fal kapilarnych prędkość fazowa wynosi v=√2πσλρ, prędkość grupowa przyjmuje wartość vg=32√2πσλρ.
W przypadku fal morskich prędkość fazowa wynosi v=√gλ2π, prędkość grupowa przyjmuje wartość vg=12√gλ2π.