Zadanie 6.6.1.5
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.6. Prędkość w ruchu falowym.
  4. 6.6.1. Nauka
  5. Zadanie 6.6.1.5

 Zadanie 6.6.1.5

Efekt Dopplera
Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi \(\displaystyle{343 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\). Źródłem dźwięku o częstotliwości \(300\,\mathrm{Hz}\) jest syrena wozu policyjnego.
a) Wóz porusza się z prędkością \(\displaystyle{45 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\). Obliczyć częstotliwość i długość fal przed i za wozem.
b) Za wozem jadą dwa samochody: jeden w tym samym kierunku z prędkością \(\displaystyle{30\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\), a drugi w przeciwnym kierunku z prędkością \(\displaystyle{15\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\). Jakie częstotliwości fal słyszą pasażerowie samochodów?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - efekt Dopplera
Efekt Dopplera polega na zmianie częstotliwości fal dźwiękowych odbieranych przez obserwatora, w wyniku poruszania się obserwatora lub źródła względem ośrodka, w którym rozchodzą się fale.

Ruch odbiornika dźwięku z prędkością \(v_0\):
  • odbiornik zbliża się \(\displaystyle{f'=f\frac{c+v_0}{c} }\),
  • odbiornik oddala się \(\displaystyle{f'=f\frac{c-v_0}{c} }\).

Ruch źródła dźwięku z prędkością \(v_z\):
  • źródło zbliża się \(\displaystyle{f'=f\frac{c}{c-v_z} }\),
  • źródło oddala się \(\displaystyle{f'=f\frac{c}{c+v_z} }\),
gdzie \(c\) jest prędkością dźwięku, a \(f\) częstotliwością źródła dźwięku.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- prędkość dźwięku w powietrzu \(\displaystyle{c=343\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- częstotliwość źródła dźwięku \(f=300\,\mathrm{Hz}\),
- prędkość źródła dźwięku \(\displaystyle{v=45 \,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- prędkość pojazdu poruszającego się w tym samym kierunku co źródło \(\displaystyle{v_1=30\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- prędkość pojazdu poruszającego się w przeciwnym kierunku co źródło \(\displaystyle{v_2=15\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).

Szukane:
- częstotliwość przed źródłem dźwięku \(f_{p}\),
- częstotliwość za źródłem dźwięku \(f_{z}\),
- długość fali przed źródłem dźwięku \(\lambda_{p}\),
- długość fali za źródłem dźwięku \(\lambda_{z}\),
- częstotliwość fal słyszanych z pojazdu pierwszego \(f_1\),
- częstotliwość fal słyszanych z pojazdu drugiego \(f_2\).

Analiza sytuacji

Należy pamiętać o tym, że częstotliwość odbieranej fali akustycznej zależy zarówno od prędkości odbiornika (detektora), jak i od źródła/nadajnika względem powietrza.

Rozwiązanie

Częstotliwość dźwięku słyszanego przed wozem policyjnym obliczymy z zależności

\(\displaystyle{f_p=f\frac{c}{c-v}=300\cdot \frac{343}{343-45} }\)
\(f_p=345,3\,\mathrm{Hz}\)

Długość fali wynosi
\(\displaystyle{\lambda_p=\frac{c}{f_p}=\frac{343}{345,3}=0,99\,\mathrm{m} }\)

Częstotliwość dźwięku słyszanego za wozem policyjnym obliczymy z zależności

\(\displaystyle{f_z=f\frac{c}{c+v}=300\cdot \frac{343}{343+45} }\)
\(f_z=265,2\,\mathrm{Hz}\)

Długość fali wynosi
\(\displaystyle{\lambda_z=\frac{c}{f_z}=\frac{343}{265,2}=1,29\,\mathrm{m} }\)

Dla pierwszego samochodu jadącego w tym samym kierunku co wóz policyjny mamy

\(\displaystyle{f_1=f\frac{c+v_1}{c+v}=f_z\frac{c+v_1}{c}=265,2\cdot \frac{343+30}{343} }\)
\(f_1=288,4\,\mathrm{Hz}\)

Dla drugiego samochodu jadącego w przeciwnym kierunku do wózu policyjnego mamy

\(\displaystyle{f_2=f\frac{c-v_2}{c+v}=f_z\frac{c-v_2}{c}=265,2\cdot \frac{343-15}{343} }\)
\(f_2=253,6\,\mathrm{Hz}\)

Odpowiedź

Szukane wielkości wynoszą:

  • \(f_p=345,3\,\mathrm{Hz}\),
  • \(\lambda_p=0,99\,\mathrm{m} \),
  • \(f_z=265,2\,\mathrm{Hz}\),
  • \(\lambda_z=1,29\,\mathrm{m} \),
  • \(f_1=288,4\,\mathrm{Hz}\),
  • \(f_2=253,6\,\mathrm{Hz}\).