Zadanie 6.6.1.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.6. Prędkość w ruchu falowym.
  4. 6.6.1. Nauka
  5. Zadanie 6.6.1.4

 Zadanie 6.6.1.4

Prędkość dźwięku w powietrzu
Do bardzo głębokiej studni wrzucono kamień. Odgłos uderzenia kamienia o powierzchnię wody usłyszano po czasie \(t=20\,\mathrm{s}\). Oblicz głębokość studni. Przyjmij, że prędkość dźwięku wynosi \(\displaystyle{v_d=330\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - spadek swobodny
Spadek swobodny to rzut pionowy w dół z prędkością początkową równą zero. Równania spadku swobodnego mają postać

\(v=gt\)

\(\displaystyle{s=\frac{1}{2}gt^2 }\)

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- czas, po którym usłyszano uderzenie kamienia o powierzchnię wody \(t=20\,\mathrm{s}\),
- prędkość dźwięku w powietrzu \(\displaystyle{ v_d=330\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\),
- przyspieszenie ziemskie \(\displaystyle{g=10\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} }\).

Szukane:
- głębokość studni \(h\).

Analiza sytuacji

Niech \(h\) będzie głębokością studni. Czas \(t\) jest sumą czasu spadku swobodnego z wysokości \(h\) i czasu potrzebnego dźwiękowi na przebycie tej samej drogi z prędkością \(v\). Warunek zadania jest więc następujący:

\(t=t_s+t_d\)

Czas spadku swobodnego z wysokości \(h\) wyznaczamy z zależności \(\displaystyle{h=\frac{1}{2}gt^2 }\). Wynosi on

\(\displaystyle{t_s=\sqrt{\frac{2h}{g}} }\)

Czas potrzebny na przebycie dźwiękowi drogi \(h\) jest równy \(\displaystyle{t_d=\frac{h}{v_d} }\)

Ostatecznie otrzymujemy

\(\displaystyle{t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v_d} }\)

Rozwiązanie

Otrzymane równanie zapiszmy w postaci

\(\displaystyle{t-\frac{h}{v_d}=\sqrt{\frac{2h}{g}} }\)

i teraz podnieśmy do kwadratu.

\(\displaystyle{t^2-2t\frac{h}{v_d}+\frac{h^2}{v_d^2}-\frac{2h}{g}=0 }\)

W równaniu \(\displaystyle{t=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v_d} }\) występuje pierwiastek \(\displaystyle{\sqrt{\frac{2h}{g}} }\), którego rozwiązaniem może być liczba \(\pm b\). Rozwiązanie ujemne nie ma sensu fizycznego i nie powinniśmy o tym zapominać podczas analizy wyników końcowych. Operacja podniesienia do kwadratu sprawia, że informacja ta zostaje ukryta.

Otrzymane równanie kwadratowe przemnóżmy przez \(v_d^2\)

\(\displaystyle{h^2-2v_d\left (t+\frac{v_d}{g}\right )h+(tv_d)^2=0 }\)

W celu przejrzystości obliczeń podstawmy liczby

\(\displaystyle{h^2-2\cdot 330\left (20+\frac{330}{10}\right )h+(20\cdot 330)^2=0 }\)

\(\Delta=1049360400\)

\(\sqrt{\Delta}\approx 32393,8\)

\(\displaystyle{h_1=\frac{34980-32393,8}{2}\approx 1293\,\mathrm{m} }\)

\(\displaystyle{h_2=\frac{34980+32393,8}{2}\approx 33687\,\mathrm{m} }\)

Rozwiązanie drugie odrzucamy, ponieważ w tym przypadku, rozważany wcześniej pierwiastek, przyjmuje wartość ujemną. Zostaje odpowiedź \(h\approx 1293\,\mathrm{m} \).

Odpowiedź

Głębokość studni wynosi \(h\approx 1293\,\mathrm{m} \).