Zadanie 6.6.1.3
Prędkość dźwieku w gazie
Korzystając z równania gazu doskonałego \(pV = nRT\), gdzie \(\displaystyle{n =\frac{m}{\mu} }\) - liczba moli gazu i \(\mu\) jest masą jednego mola tego gazu, pokaż, że prędkość dźwięku w gazie doskonałym jest równa \(\displaystyle{v_d=\sqrt{ \frac{\kappa RT}{\mu}} }\), gdzie \(\displaystyle{\kappa= \frac{C_p}{C_v} }\).
Wskazówka teoretyczna
Teoria - równanie Clapeyrona
Równanie stanu gazu doskonałego opisuje związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisuje gazy rzeczywiste. Prawo to można wyrazić wzorem
gdzie \(p\) - ciśnienie, \(V\) - objętość, \(n\) - liczba moli gazu, \(T\) - temperatura, \(\displaystyle{R=8,314\,\mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}} }\) - uniwersalna stała gazowa.
\(pV=nRT\)
gdzie \(p\) - ciśnienie, \(V\) - objętość, \(n\) - liczba moli gazu, \(T\) - temperatura, \(\displaystyle{R=8,314\,\mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}} }\) - uniwersalna stała gazowa.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Analiza sytuacji
W celu wyprowadzenia wymaganej zależności skorzystamy ze wzoru Laplace'a
\(\displaystyle{c=\sqrt{\frac{\kappa\cdot p}{\rho}} }\)
Gęstość ośrodka wynosi
\(\displaystyle{\rho=\frac{\kappa\cdot p}{c^2} }\)
Rozprzestrzenianie się fali dźwiękowej w powietrzu, to nic innego jak propagowanie się w tym ośrodku lokalnych zgęszczeń i rozrzedzeń powietrza. Rozchodząca się fala powoduje lokalne zmiany ciśnienia \(p(x,t)\) powietrza, którego wartość wynosi
gdzie \(p_r\) - ciśnienie równowagowe (nie zależy od miejsca i czasu ), a \(\Delta p(r,t)\) dodatkowe ciśnienie pochodzące od fali głosowej.
W celu wyznaczenia wartości prędkości fali głosowej w powietrzu, postąpimy podobnie jak w przypadku obliczania prędkości fali sprężystej rozchodzącej się w pręcie. Weźmy pod uwagę objętość \(\Delta V\) powietrza zajmowaną przez walec o powierzchni podstawy \(S\) i długości \(\Delta x\), którego lewa podstawa jest umieszczona w \(x\), a prawa podstawa w \(x+\Delta x\). Niechaj fala głosowa rozchodzi się wzdłuż osi walca. Równanie ruchu masy powietrza wewnątrz walca ma postać
gdzie \(\rho_0\) jest średnią (równowagową) gęstością powietrza, zaś \(u(x,t)\) jest przesunięciem cząstek powietrza wypełniających walec znajdujący się wokół punktu \(x\) ośrodka.
Dla dostatecznie małych wartości \(\Delta x\) możemy napisać
Jak policzyć pochodną \(\displaystyle{\frac{\partial p}{\partial x} }\)? Musimy najpierw zdać sobie sprawę z tego, że prędkość fali głosowej jest na tyle duża, że docierając do określonego miejsca powietrza, nie powoduje ona wymiany ciepła między danym fragmentem ośrodka a przylegającymi do niego innymi częściami ośrodka. Dlatego mówimy, że propagacja dźwięku jest procesem adiabatycznym. Równanie adiabaty ma postać
gdzie \(V=S\cdot \Delta x\)
Policzmy różniczką zupełną równania adiabaty
skąd otrzymujemy \[\Delta p\cdot V^{\kappa}=-\kappa\cdot V^{\kappa-1}\cdot p\cdot\Delta V \] \[\displaystyle{\Delta p=-p\kappa\Delta V\frac{V^{\kappa-1}}{V^{\kappa}}=-p\kappa\Delta V\cdot V^{-1}}\]
Następnie zauważmy, że objętość równowagowa naszego fragmentu objętości wynosi \(V=S\cdot\Delta x\), natomiast \(\Delta V=S\cdot\Delta u\), a ponieważ fala powoduje zmianą liniowych rozmiarów objętości \(V\) o wartość \(\Delta u=u(x+\Delta x,t)-u(x,t)\). Zatem
i dla nieskończenie małych przyrostów możemy napisać
Po podstawieniu ostatniego wyniku do (1) otrzymujemy
Zatem prędkość fali głosowej w atmosferze jest dana wyrażeniem zwanym wzorem Laplace'a
\(p(r,t)=p_r+\Delta p(r,t)\)
gdzie \(p_r\) - ciśnienie równowagowe (nie zależy od miejsca i czasu ), a \(\Delta p(r,t)\) dodatkowe ciśnienie pochodzące od fali głosowej.
W celu wyznaczenia wartości prędkości fali głosowej w powietrzu, postąpimy podobnie jak w przypadku obliczania prędkości fali sprężystej rozchodzącej się w pręcie. Weźmy pod uwagę objętość \(\Delta V\) powietrza zajmowaną przez walec o powierzchni podstawy \(S\) i długości \(\Delta x\), którego lewa podstawa jest umieszczona w \(x\), a prawa podstawa w \(x+\Delta x\). Niechaj fala głosowa rozchodzi się wzdłuż osi walca. Równanie ruchu masy powietrza wewnątrz walca ma postać
\(\displaystyle{\rho\cdot S\cdot \Delta x \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=S\cdot \left [ p(x,t)-p(x+\Delta x,t) \right ] }\)
gdzie \(\rho_0\) jest średnią (równowagową) gęstością powietrza, zaś \(u(x,t)\) jest przesunięciem cząstek powietrza wypełniających walec znajdujący się wokół punktu \(x\) ośrodka.
Dla dostatecznie małych wartości \(\Delta x\) możemy napisać
\(\displaystyle{\rho\cdot S\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=-S\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left (\frac{p(x+\Delta x)-p(x)}{\Delta x} \right )=-S\frac{\partial p}{\partial x} }\) (1)
Jak policzyć pochodną \(\displaystyle{\frac{\partial p}{\partial x} }\)? Musimy najpierw zdać sobie sprawę z tego, że prędkość fali głosowej jest na tyle duża, że docierając do określonego miejsca powietrza, nie powoduje ona wymiany ciepła między danym fragmentem ośrodka a przylegającymi do niego innymi częściami ośrodka. Dlatego mówimy, że propagacja dźwięku jest procesem adiabatycznym. Równanie adiabaty ma postać
\(p\cdot V^{\kappa}= const\)
gdzie \(V=S\cdot \Delta x\)
Policzmy różniczką zupełną równania adiabaty
\(\Delta p\cdot V^{\kappa}+\kappa\cdot V^{\kappa-1}\cdot p\cdot\Delta V=0 \)
skąd otrzymujemy \[\Delta p\cdot V^{\kappa}=-\kappa\cdot V^{\kappa-1}\cdot p\cdot\Delta V \] \[\displaystyle{\Delta p=-p\kappa\Delta V\frac{V^{\kappa-1}}{V^{\kappa}}=-p\kappa\Delta V\cdot V^{-1}}\]
\(\displaystyle{\Delta p=-p\kappa\frac{\Delta V}{V}}\)
Następnie zauważmy, że objętość równowagowa naszego fragmentu objętości wynosi \(V=S\cdot\Delta x\), natomiast \(\Delta V=S\cdot\Delta u\), a ponieważ fala powoduje zmianą liniowych rozmiarów objętości \(V\) o wartość \(\Delta u=u(x+\Delta x,t)-u(x,t)\). Zatem
\(\displaystyle{\Delta p=-\kappa\cdot p \frac{\Delta u}{\Delta x} }\)
i dla nieskończenie małych przyrostów możemy napisać
\(\displaystyle{\partial p=-\kappa\cdot p \frac{\partial u}{\partial x} }\)
Po podstawieniu ostatniego wyniku do (1) otrzymujemy
\(\displaystyle{\rho\cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=-\frac{\partial p}{\partial x} }\)
\(\displaystyle{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial \left (p\kappa\frac{\partial u}{\partial x}\right )}{\partial x} }\)
\(\displaystyle{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\rho}{p\kappa} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} }\)
Zatem prędkość fali głosowej w atmosferze jest dana wyrażeniem zwanym wzorem Laplace'a
\(\displaystyle{c=\sqrt{\frac{\kappa\cdot p}{\rho}} }\)
Rozwiązanie
Z równania gazu doskonałego otrzymujemy
\(pV=nRT\)
\(\displaystyle{p\frac{\cancel{m}}{\rho}=\frac{\cancel{m}}{\mu}RT }\)
\(\displaystyle{\frac{p}{\rho}=\frac{RT}{\mu} }\)
Podstawiając za gęstość wyrażenie otrzymane ze wzoru Laplace'a, mamy
\(\displaystyle{\frac{p v^2}{\kappa p}=\frac{RT}{\mu} }\)
\(\displaystyle{c^2=\frac{\kappa RT}{\mu} }\)
\(\displaystyle{c=\sqrt{\frac{\kappa RT}{\mu}} }\)