Zadanie 6.7.1.1
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.7. Transport energii i inne problemy
  4. 6.7.1. Nauka
  5. Zadanie 6.7.1.1

 Zadanie 6.7.1.1

Energia fali podłużnej
Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości \(\displaystyle{7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\) i polu przekroju poprzecznego \(4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \) ma postać (w SI):
\(u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x) \).
Ile wynosi energia chwilowa w otoczeniu dowolnego punktu pręta i średnia energia fali we fragmencie ośrodka o długości \(\Delta x=0,001\,\mathrm{m}\)?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - energia
Całkowita energia mechaniczna skoncentrowana w wyróżnionym elemencie ośrodka wynosi

\(\Delta E_m(x,t)=\Delta E_k(x,t)+\Delta E_p(x,t)\)

Energia kinetyczna
\(\displaystyle{\Delta E_k(x,t)=\frac{1}{2}\Delta m (v(x,t))^2}\)

\(\displaystyle{\Delta E_k(x,t)=\frac{1}{2}\rho \Delta V\left ( \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \right )^2 }\)

Energia potencjalna
\(\displaystyle{\Delta E_p(x,t)=\frac{1}{2}E\cdot\Delta V(\varepsilon (x,t))^2 }\)

\(\displaystyle{\Delta E_p(x,t)=\frac{1}{2}E\cdot\Delta V\left ( \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \right )^2 }\)

W rezultacie otrzymujemy

\(\Delta E_m(x,t)=\rho \Delta V v^2(x,t) \)

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- gęstość pręta \(\displaystyle{\rho=7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\),
- przekrój poprzeczny pręta \(S=4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \),
- długość wybranego fragmentu ośrodka \(\Delta x=0,001\,\mathrm{m}\),
- równanie fali \(u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x) \) (w SI).

Szukane:
- energia chwilowa w otoczeniu dowolnego punktu pręta \(\Delta E_m(x,t)\),
- średnia energia fali we fragmencie \(\left \langle\Delta E_m(x,t)\right \rangle\).

Energia chwilowa

W celu wyznaczenia szukanej wartości chwilowej energii w dowolnym punkcie pręta, skorzystamy z zależności

\(\displaystyle{\Delta E_m(x,t)=\rho\cdot\Delta V\left ( \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \right )^2}\)

\(\displaystyle{\Delta E_m(x,t)=\rho\cdot S\cdot\Delta x\left ( \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} \right )^2}\)

Policzmy pochodną

\(\displaystyle{\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left [ 3\cdot 10^{-6}\cos(4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\right ] }\)

\(\displaystyle{\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=-12\pi\cdot 10^{-3}\sin (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x) }\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)

Stąd chwilowe wartości energii mechanicznej w podanym otoczeniu (objętości pręta) dowolnego punktu pręta i w dowolnej chwili czasu wynoszą

\(\Delta E_m(x,t)=7900\cdot 4\cdot 10^{-4}\cdot 10^{-3}\cdot \left ( 12\pi\cdot 10^{-3}\sin (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x) \right )^2 \)

\(\displaystyle{\mathrm{\frac{kg}{m^3}\cdot m^2\cdot m\cdot\frac{m^2}{s^2}=kg\cdot \frac{m^2}{s^2}=J} }\)

\(\Delta E_m(x,t)=4,49\cdot 10^{-6}\sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\,\mathrm{J} \)

Jak widzimy chwilowa wartość energii zależy od czasu i od miejsca w pręcie. Oscyluje wokół wartości maksymalnej. Okres tych oscylacji jest dwa razy krótszy niż okres fali.

Aby zadanie miało sens rozmiar liniowy fragmentu ośrodka powinien być znacznie mniejszy od długości fali. Policzmy więc długość fali. „Czytamy” podana postać fali. Wnika z niej, że

\(\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{0,8\pi}=2,5\,\mathrm{m} }\)

Zatem zadanie jest sensownie sformułowane, ponieważ \(\Delta x\) jest \(2500\) razy mniejsze od długości fali. Na takim małym odcinku pręta wszystkie jego elementy mają te same wartości wychyleń, prędkości, przyspieszeń.

Energia średnia

Policzymy średnią wartość energii w wyróżnionym fragmencie pręta w dowolnym jego punkcie i w dowolnej chwili czasu. W tym celu skorzystamy z wyrażenia

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=\frac{1}{2}\rho S\Delta x(\omega A)^2}\)

co jak widać wymaga znajomości iloczynu \(\omega A\). Z postaci fali „odczytujemy”, że \(A=3\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m} \) oraz  \(\displaystyle{\omega=4\cdot 10^{3} \,\mathrm{\frac{rad}{s^2}}}\)

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=\frac{1}{2}\cdot 7900\cdot 4\cdot 10^{-4}\cdot 1\cdot 10^{-3}(3\cdot 10^{-6}\cdot \pi\cdot 4\cdot 10^3 )^2}\)

\(\displaystyle{\mathrm{\frac{kg}{m^3}\cdot m^2\cdot m\cdot\frac{rad^2}{s^2}\cdot m^2=kg\cdot \frac{m^2}{s^2}=J} }\)

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=2,25\mu \,\mathrm{J} }\)

Średnia energia mechaniczna jest równa

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\Delta E_m(x,t)\mathrm{d}t  }\)

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=\frac{1}{2}\rho S\Delta x(\omega A)^2 }\)

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left [\Delta E_k(x,t)+\Delta E_p(x,t)\right ]\mathrm{d}t }\)

Otrzymane wyrażenie można rozbić na dwie całki, co w rezultacie daje

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=\left \langle \Delta E_k(x,t) \right \rangle+\left \langle \Delta E_p(x,t) \right \rangle=2\left \langle \Delta E_k(x,t) \right \rangle  }\)

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=\frac{1}{2}\Delta m\left ( \frac{\partial y}{\partial t} \right )^2 }\)

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=\frac{1}{2}\rho S\Delta x(\omega v_{max})^2 }\)

\(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=\frac{1}{2}\rho S\Delta x(\omega A)^2 }\)

Odpowiedź

Energia chwilowa w otoczeniu dowolnego punktu pręta wynosi \(\Delta E_m(x,t)=4,49\cdot 10^{-6}\sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\,\mathrm{J} \), natomiast średnia energia fali we fragmencie ośrodka ma wartość \(\displaystyle{\left \langle \Delta E_m(x,t) \right \rangle=2,25\mu \,\mathrm{J} }\).