Zadanie 6.7.1.2
Średnia moc
Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości 7900kgm3 i polu przekroju poprzecznego 4⋅10−4m2 ma postać (w SI):
u(x,t)=3⋅10−6cos(4⋅103πt−0,8πx).
Ile wynosi średnia moc tej fali?
u(x,t)=3⋅10−6cos(4⋅103πt−0,8πx).
Ile wynosi średnia moc tej fali?
Wskazówka teoretyczna
Teoria - średnia moc
Średnia moc określa ilość energii, jaka jest transferowana pomiędzy fragmentami ośrodka sprężystego o rozmiarach ΔV=Δx⋅S położonych pomiędzy punktami ośrodka x i x+Δx.
gdzie c=dxdt jest prędkością fazową fali monochromatycznej, ρ - gęstością ośrodka, S - polem przekroju poprzecznego, ω - częstością, A - amplitudą fali.
⟨ΔP⟩=12ρ⋅S⋅c⋅(ω⋅A)2
gdzie c=dxdt jest prędkością fazową fali monochromatycznej, ρ - gęstością ośrodka, S - polem przekroju poprzecznego, ω - częstością, A - amplitudą fali.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- gęstość pręta ρ=7900kgm3,
- przekrój poprzeczny pręta S=4⋅10−4m2,
- równanie fali u(x,t)=3⋅10−6cos(4⋅103πt−0,8πx).
Szukane:
- średnia moc fali ⟨ΔP⟩.
Rozwiązanie
Średnią moc liczymy ze wzoru
⟨ΔP⟩=12ρ⋅S⋅c⋅(ω⋅A)2
gdzie występuje prędkość fazowa fali. Łatwo jest ją policzyć z postaci fali i wynosi ona
c=4⋅103π0,8π=5000ms
⟨ΔP⟩=12⋅7900⋅4⋅10−4⋅5000⋅(3⋅10−6⋅4π⋅103)2
kgm3⋅m2⋅ms⋅rad2s2⋅m2=kg⋅m2s2⋅1s=J⋅1s=W
kgm3⋅m2⋅ms⋅rad2s2⋅m2=kg⋅m2s2⋅1s=J⋅1s=W
⟨ΔP⟩=11,22W
Odpowiedź
Średnia moc fali wynosi ⟨ΔP⟩=11,22W.