Zadanie 6.7.1.2
Średnia moc
Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości \(\displaystyle{7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\) i polu przekroju poprzecznego \(4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \) ma postać (w SI):
\(u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x) \).
Ile wynosi średnia moc tej fali?
\(u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x) \).
Ile wynosi średnia moc tej fali?
Wskazówka teoretyczna
Teoria - średnia moc
Średnia moc określa ilość energii, jaka jest transferowana pomiędzy fragmentami ośrodka sprężystego o rozmiarach \(\Delta V=\Delta x\cdot S\) położonych pomiędzy punktami ośrodka \(x\) i \(x+\Delta x\).
gdzie \(\displaystyle{c=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}\) jest prędkością fazową fali monochromatycznej, \(\rho\) - gęstością ośrodka, \(S\) - polem przekroju poprzecznego, \(\omega\) - częstością, \(A\) - amplitudą fali.
\(\displaystyle{\left \langle \Delta P \right \rangle=\frac{1}{2}\rho\cdot S\cdot c\cdot (\omega\cdot A)^2}\)
gdzie \(\displaystyle{c=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}\) jest prędkością fazową fali monochromatycznej, \(\rho\) - gęstością ośrodka, \(S\) - polem przekroju poprzecznego, \(\omega\) - częstością, \(A\) - amplitudą fali.
Informacja
Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.
Dane i szukane
Dane:
- gęstość pręta \(\displaystyle{\rho=7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\),
- przekrój poprzeczny pręta \(S=4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \),
- równanie fali \(u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x) \).
Szukane:
- średnia moc fali \(\left \langle \Delta P \right \rangle\).
Rozwiązanie
Średnią moc liczymy ze wzoru
\(\displaystyle{\left \langle \Delta P \right \rangle=\frac{1}{2}\rho\cdot S\cdot c\cdot (\omega\cdot A)^2}\)
gdzie występuje prędkość fazowa fali. Łatwo jest ją policzyć z postaci fali i wynosi ona
\(\displaystyle{c=\frac{4\cdot 10^3\pi}{0,8\pi}=5000\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)
\(\displaystyle{\left \langle \Delta P \right \rangle=\frac{1}{2}\cdot 7900\cdot 4\cdot 10^{-4}\cdot 5000\cdot (3\cdot10^{-6}\cdot 4\pi\cdot 10^{3})^2}\)
\(\displaystyle{\mathrm{\frac{kg}{m^3}\cdot m^2\cdot \frac{m}{s}\cdot\frac{rad^2}{s^2}\cdot m^2=kg\cdot \frac{m^2}{s^2}\cdot\frac{1}{s}=J\cdot\frac{1}{s}=W} }\)
\(\displaystyle{\mathrm{\frac{kg}{m^3}\cdot m^2\cdot \frac{m}{s}\cdot\frac{rad^2}{s^2}\cdot m^2=kg\cdot \frac{m^2}{s^2}\cdot\frac{1}{s}=J\cdot\frac{1}{s}=W} }\)
\(\left \langle \Delta P \right \rangle=11,22\,\mathrm{W}\)
Odpowiedź
Średnia moc fali wynosi \(\left \langle \Delta P \right \rangle=11,22\,\mathrm{W}\).