Zadanie 6.7.1.3
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.7. Transport energii i inne problemy
  4. 6.7.1. Nauka
  5. Zadanie 6.7.1.3

 Zadanie 6.7.1.3

Intensywność
Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości \(\displaystyle{7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\) i polu przekroju poprzecznego \(4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \) ma postać (w SI):
\(u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x) \).
Ile wynosi chwilowa i średnia intensywność tej fali?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - intensywność
Chwilową intensywnością fali nazywamy wielkość

\(I(x,t)=\rho\cdot c\cdot v^2(x,t)\)

Średnią intensywnością fali nazywamy wielkość

\(\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=\frac{1}{2}\rho\cdot c\cdot (\omega\cdot A)^2}\)

gdzie \(\displaystyle{c=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}\) jest prędkością fazową fali monochromatycznej, \(\rho\) - gęstością ośrodka, \(\omega\) - częstością, \(A\) - amplitudą fali.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- gęstość pręta \(\displaystyle{\rho=7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\),
- przekrój poprzeczny pręta \(S=4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \),
- równanie fali \(u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x) \).

Szukane:
- chwilowa intensywność fali \(I(x,t)\),
- średnia intensywność fali \(\left \langle I \right \rangle\).

Chwilowa intensywność

Chwilową intensywność fali obliczamy z zależności

\(I(x,t)=\rho\cdot c\cdot v^2(x,t)\)

gdzie występuje prędkość fazowa fali. Łatwo jest ją policzyć z postaci fali i wynosi ona

\(\displaystyle{c=\frac{4\cdot 10^3\pi}{0,8\pi}=5000\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Wielkość \(v(x,t)\) wyznaczamy następująco

\(\displaystyle{\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left [ 3\cdot 10^{-6}\cos(4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\right ] }\)

\(\displaystyle{\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=-12\pi\cdot 10^{-3}\sin (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x) }\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)

Po podstawieniu do wzoru, mamy

\(I(x,t)=7900\cdot 5000\cdot (-12\pi\cdot 10^{-3})^2\sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\)

\(\displaystyle{\mathrm{\frac{kg}{m^3}\cdot \frac{m}{s}\cdot\frac{m^2}{s^2}=\frac{1}{m^2}\cdot kg\cdot \frac{1}{s}\cdot\frac{m^2}{s^2}=\frac{1}{m^2}\cdot J\cdot\frac{1}{s}=\frac{W}{m^2}} }\)
 
\(I(x,t)=56\cdot 10^3\sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\)\(\displaystyle{\mathrm{\frac{W}{m^2}}}\)

Średnia intensywność

Średnią intensywnością fali wyznaczamy na podstawie zależności

\(\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=\frac{1}{2}\rho\cdot c\cdot (\omega\cdot A)^2}\)

Korzystamy z wielkości wyznaczonych w pierwszej części zadania:

\(\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=\frac{1}{2}\cdot 7900\cdot 5000\cdot (12\pi\cdot 10^{-3})^2}=28040\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}\)

\(\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=28\,\mathrm{\frac{kW}{m^2}} }\)

Odpowiedź

Chwilowa intensywność wynosi \(I(x,t)=56\cdot 10^3\sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\)\(\displaystyle{\mathrm{\frac{W}{m^2}}}\), średnia intensywność ma wartość \(\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=28\,\mathrm{\frac{kW}{m^2}} }\).