Zadanie 6.7.1.3

Intensywność

Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości

$\displaystyle{7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}$ i polu przekroju poprzecznego

$4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ ma postać (w SI):

$u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x)$ .
Ile wynosi chwilowa i średnia intensywność tej fali?

Wskazówka teoretyczna

Teoria - intensywność

Chwilową intensywnością fali nazywamy wielkość

$I(x,t)=\rho\cdot c\cdot v^2(x,t)$

Średnią intensywnością fali nazywamy wielkość

$\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=\frac{1}{2}\rho\cdot c\cdot (\omega\cdot A)^2}$

gdzie

$\displaystyle{c=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}$ jest prędkością fazową fali monochromatycznej,

$\rho$ - gęstością ośrodka,

$\omega$ - częstością,

$A$ - amplitudą fali.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- gęstość pręta $\displaystyle{\rho=7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}$ ,
- przekrój poprzeczny pręta $S=4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2}$ ,
- równanie fali $u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x)$ .

Szukane:
- chwilowa intensywność fali $I(x,t)$ ,
- średnia intensywność fali $\left \langle I \right \rangle$ .

Chwilowa intensywność

Chwilową intensywność fali obliczamy z zależności

$I(x,t)=\rho\cdot c\cdot v^2(x,t)$

gdzie występuje prędkość fazowa fali. Łatwo jest ją policzyć z postaci fali i wynosi ona

$\displaystyle{c=\frac{4\cdot 10^3\pi}{0,8\pi}=5000\,\mathrm{\frac{m}{s}} }$

Wielkość

$v(x,t)$ wyznaczamy następująco

$\displaystyle{\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left [ 3\cdot 10^{-6}\cos(4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\right ] }$

$\displaystyle{\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=-12\pi\cdot 10^{-3}\sin (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x) }\,\mathrm{\frac{m}{s}}$

Po podstawieniu do wzoru, mamy

$I(x,t)=7900\cdot 5000\cdot (-12\pi\cdot 10^{-3})^2\sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)$

$\displaystyle{\mathrm{\frac{kg}{m^3}\cdot \frac{m}{s}\cdot\frac{m^2}{s^2}=\frac{1}{m^2}\cdot kg\cdot \frac{1}{s}\cdot\frac{m^2}{s^2}=\frac{1}{m^2}\cdot J\cdot\frac{1}{s}=\frac{W}{m^2}} }$

$I(x,t)=56\cdot 10^3\sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)$

$\displaystyle{\mathrm{\frac{W}{m^2}}}$

Średnia intensywność

Średnią intensywnością fali wyznaczamy na podstawie zależności

$\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=\frac{1}{2}\rho\cdot c\cdot (\omega\cdot A)^2}$

Korzystamy z wielkości wyznaczonych w pierwszej części zadania:

$\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=\frac{1}{2}\cdot 7900\cdot 5000\cdot (12\pi\cdot 10^{-3})^2}=28040\,\mathrm{\frac{W}{m^2}}$

$\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=28\,\mathrm{\frac{kW}{m^2}} }$

Odpowiedź

Chwilowa intensywność wynosi $I(x,t)=56\cdot 10^3\sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)$ $\displaystyle{\mathrm{\frac{W}{m^2}}}$ , średnia intensywność ma wartość $\displaystyle{\left \langle \Delta I \right \rangle=28\,\mathrm{\frac{kW}{m^2}} }$ .

Zadanie 6.7.1.2

Zadanie 6.7.1.4

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta