Zadanie 6.7.1.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.7. Transport energii i inne problemy
  4. 6.7.1. Nauka
  5. Zadanie 6.7.1.4

 Zadanie 6.7.1.4

Gęstość energii
Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości \(\displaystyle{7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\) i polu przekroju poprzecznego \(4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \) ma postać (w SI):
\(u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x) \).
Ile wynosi chwilowa i średnia wartość gęstości energii tej fali w pręcie?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - gęstość energii
Chwilową gęstością energii fali nazywamy wielkość

\(\rho_E(x,t)=\rho\cdot v^2(x,t)\)

Średnią gęstością energii fali nazywamy wielkość

\(\displaystyle{\left \langle \Delta \rho_E \right \rangle=\frac{1}{2}\rho\cdot (\omega\cdot A)^2}\)

gdzie \(\rho\) - gęstością ośrodka, \(\omega\) - częstością, \(A\) - amplitudą fali.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- gęstość pręta \(\displaystyle{\rho=7900\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\),
- przekrój poprzeczny pręta \(S=4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \),
- równanie fali \(u(x,t)=3\cdot 10^{-6}\cos (4\cdot 10^3 \pi t-0,8\pi x) \).

Szukane:
- chwilowa gęstości energii \(\rho_E(x,t)\),
- średnia gęstości energii \(\left \langle \rho_E \right \rangle\).

Chwilowa gęstość energii

Chwilową gęstość energii fali obliczamy z zależności

\(\rho_E(x,t)=\rho\cdot v^2(x,t)\)

Wielkość \(v(x,t)\) wyznaczamy następująco

\(\displaystyle{\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left [ 3\cdot 10^{-6}\cos(4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\right ] }\)

\(\displaystyle{\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=-12\pi\cdot 10^{-3}\sin (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x) }\,\mathrm{\frac{m}{s}}\)

Po podstawieniu do wzoru, mamy

\(\rho_E(x,t)=7900\cdot (-12\pi\cdot 10^{-3})^2\sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\)
 
\(\rho_E(x,t)=11,2\cdot \sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\)\(\displaystyle{\mathrm{\frac{J}{m^3}}}\)

Średnia gęstości energii

Średnią gęstość energii fali wyznaczamy na podstawie zależności

\(\displaystyle{\left \langle \Delta \rho_E \right \rangle=\frac{1}{2}\rho\cdot (\omega\cdot A)^2}\)

Korzystamy z wielkości wyznaczonych w pierwszej części zadania:

\(\displaystyle{\left \langle \Delta \rho_E \right \rangle=\frac{1}{2}\cdot 7900\cdot (12\pi\cdot 10^{-3})^2}=5,6\,\mathrm{\frac{J}{m^3}}\)

\(\displaystyle{\left \langle \Delta \rho_E \right \rangle=5,6\,\mathrm{\frac{J}{m^3}} }\)

Odpowiedź

Chwilowa gęstość energii fali wynosi \(\displaystyle{\rho_E(x,t)=11,2\cdot \sin^2 (4\cdot 10^{3}\pi t-0,8\pi x)\,\mathrm{\frac{J}{m^3}}}\), natomiast średnia gęstości energii ma wartość \(\displaystyle{\mathrm{\frac{J}{m^3}}}\) \(\displaystyle{\left \langle \Delta \rho_E \right \rangle=5,6\,\mathrm{\frac{J}{m^3}} }\).