Zadanie 6.7.1.5
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.7. Transport energii i inne problemy
  4. 6.7.1. Nauka
  5. Zadanie 6.7.1.5

 Zadanie 6.7.1.5

Fala w strunie
Jednorodna struna o masie \(m\) i długości \(L\) zwisa pionowo w dół. Pokaż, że prędkość fali poprzecznej w tej strunie zależy od odległości \(y\) od dolnego końcu jak \(c=\sqrt{gy}\). Ile wynosi czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny?

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - prędkość fali w strunie
Prędkość rozchodzenia się fali wzdłuż struny wyraża się następującą zależnością

\(\displaystyle{c=\sqrt{\frac{F}{\rho}} }\)

gdzie \(F\) - siła naprężająca strunę, \(\rho\) - gęstość materiału, z którego wykonana jest struna (wyprowadzenie znajdziesz w zadaniu 6.5.1.2).

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- masa struny \(m\),
- długość struny \(L\),
- odległości od dolnego końcu struny \(y\),
- zależność prędkości fali od odległości od dolnego końcu struny \(c=\sqrt{gy}\),
- przyspieszenie ziemskie \(g\).

Szukane:
- czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny \(t(L)\).

Analiza sytuacji

Na element struny \(\Delta m\), odległy o \(y\) od dolnego jej końca, działa siła \(Q(y)\) będąca ciężarem struny o długości \(y\), której wartość wynosi  \(Q(y) = \rho\cdot y\cdot g\), gdzie \(\displaystyle{\rho=\frac{m}{L} }\). Zatem prędkość fazowa fali jest dana wzorem

\(\displaystyle{c=\sqrt{\frac{Q(y)}{\rho}}=\sqrt{\frac{\rho\cdot y\cdot g}{\rho}}=\sqrt{yg} }\)

Rozwiązanie

Czas potrzebny na przebycie odległości \(L\) wyznaczymy sumując czasy \(\mathrm{d}t\) jakie są potrzebne fali na przebycie elementu o długości \(\mathrm{d}y\), który jest dany wzorem

\(\displaystyle{\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}y}{c(y)}=\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{yg}} }\)

Tak więc całkowity czas \(t (L)\) jest sumą powyższych odcinków czasu

\(\displaystyle{t(L)=\int_{0}^{L}\mathrm{d}t=\int_{0}^{L}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{yg}}  }\)

\(\displaystyle{t(L)=\frac{1}{\sqrt{g}}\int_{0}^{L}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{g}}\left [ 2\sqrt{y} \right ]_0^L  }\)

\(\displaystyle{t(L)=2\sqrt{\frac{L}{g}}  }\)

Odpowiedź

Czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny wynosi \(\displaystyle{t(L)=2\sqrt{\frac{L}{g}}  }\).