Zadanie 6.7.1.6

Fala na granicy ośrodków

Monochromatyczna fala akustyczna pada prostopadle na powierzchnię wody. Moc fali wynosi

$0,4 \,\mathrm{W}$ . Jaka cześć tej mocy przechodzi pod wodę, a jaka część jest odbijana i wraca do powietrza? Przyjmij, że gęstość powietrza

$\displaystyle{\rho_1=1,3 \,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}$ , prędkość fazowa fali w powietrzu

$\displaystyle{c_1=332 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$ , gęstość wody

$\displaystyle{\rho_2=1000 \,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}$ , prędkość fazowa fali w wodzie

$\displaystyle{c_2=1500 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$ .

Wskazówka teoretyczna

Teoria - fala na granicy ośrodków

Podczas przechodzenia fal sprężystych przez granicę dwóch różnych ośrodków, na ich granicy obserwujemy zjawiska odbicia i transmisji (tj. przechodzenia przez granicę) fal sprężystych.

Wzory na współczynniki odbicia

$R$ i transmisji

$T$ mocy fali odbitej i transmitowanej przez granice ośrodków fali padającej na ośrodek pod kątem

$\alpha$ , wynoszą

$\displaystyle{R=\left ( \frac{Z_1\cos \beta-Z_2\cos \alpha}{Z_1\cos \beta+Z_2\cos \alpha} \right )^2}$

$\displaystyle{T=\frac{4Z_1Z_2\cos \beta\cos \alpha}{\left ( Z_1\cos \beta+Z_2\cos \alpha \right )^2} }$

gdzie

$Z_1=\rho_1 c_1$ ,

$Z_2=\rho_2 c_2$ ;

$c$ - prędkość fazowa fali w ośrodku,

$\rho$ - gęstość ośrodka,

$\alpha$ - kąt padania,

$\beta$ - kąt załamania fali.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- moc fali $P=0,4 \,\mathrm{W}$ ,
- gęstość powietrza $\displaystyle{\rho_1=1,3 \,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}$ ,
- prędkość fazowa fali w powietrzu $\displaystyle{c_1=332 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$ ,
- gęstość wody $\displaystyle{\rho_2=1000 \,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}$ ,
- prędkość fazowa fali w wodzie $\displaystyle{c_2=1500 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}$ .

Szukane:
- część mocy przechodzącej pod wodę $W_T$ ,
- część mocy odbitej od powierzchni wody $W_R$ .

Analiza sytuacji

Dla fali padającej pod kątem $\alpha$ na granicę dwóch ośrodków możemy zapisać zależności na współczynniki odbicia i transmisji jako

$\displaystyle{R=\left ( \frac{Z_1\cos \beta-Z_2\cos \alpha}{Z_1\cos \beta+Z_2\cos \alpha} \right )^2}$

$\displaystyle{T=\frac{4Z_1Z_2\cos \beta\cos \alpha}{\left ( Z_1\cos \beta+Z_2\cos \alpha \right )^2} }$

W treści zadania podano, że monochromatyczna fala pada pod kątem prostopadłym do powierzchni wody. Podane powyżej wzory uprościmy więc do postaci

$\displaystyle{R=\left ( \frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2} \right )^2=\left ( \frac{\rho_1c_1-\rho_2c_2}{\rho_1c_1+\rho_2c_2} \right )^2 }$

$\displaystyle{T=\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}= \frac{4\rho_1c_1\rho_2c_2}{(\rho_1c_1+\rho_2c_2)^2} }$

Rozwiązanie

Po podstawieniu wartości liczbowych, otrzymujemy

$\displaystyle{R=\left ( \frac{1,3\cdot 332-1000\cdot 1500}{1,3\cdot 332+1000\cdot 1500} \right )^2=0,99885 }$

$\displaystyle{T= \frac{4\cdot 1,3\cdot 332 \cdot 1000\cdot 1500}{(1,3\cdot 332+1000\cdot 1500)^2}=0,00115 }$

Odpowiednie wartości mocy wynoszą:
- moc energii odbitej wynosi

$W_R=0,4\cdot 0,99885=0,39954\,\mathrm{W}$ ,
- moc energii przenoszonej do wody ma wartość

$W_T=0,4\cdot 0,00115=0,00046\,\mathrm{W}$ .

Otrzymaliśmy zaskakujący wynik: tylko około jednego promila energii fali akustycznej padającej prostopadle na powierzchnię wody jest transportowane do wody, a cała reszta jest odbijana i wraca do powietrza.

Odpowiedź

Odpowiednie wartości mocy wynoszą:
- moc energii odbitej wynosi $W_R=0,39954\,\mathrm{W}$ ,
- moc energii przenoszonej do wody ma wartość $W_T=0,00046\,\mathrm{W}$ .

Zadanie 6.7.1.5

6.7.2. Trening

Wstęp

1. Wektory

2. Kinematyka

3. Zasady dynamiki

4. Praca, moc, energia, pęd

5. Dynamika układu punktów

6. Drgania i fale

7. Elektryczność

Ankieta