Zadanie 6.7.1.6
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.7. Transport energii i inne problemy
  4. 6.7.1. Nauka
  5. Zadanie 6.7.1.6

 Zadanie 6.7.1.6

Fala na granicy ośrodków
Monochromatyczna fala akustyczna pada prostopadle na powierzchnię wody. Moc fali wynosi \(0,4 \,\mathrm{W}\). Jaka cześć tej mocy przechodzi pod wodę, a jaka część jest odbijana i wraca do powietrza? Przyjmij, że gęstość powietrza \(\displaystyle{\rho_1=1,3 \,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\), prędkość fazowa fali w powietrzu \(\displaystyle{c_1=332 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\), gęstość wody \(\displaystyle{\rho_2=1000 \,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\), prędkość fazowa fali w wodzie \(\displaystyle{c_2=1500 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).

 Wskazówka teoretyczna

 Teoria - fala na granicy ośrodków
Podczas przechodzenia fal sprężystych przez granicę dwóch różnych ośrodków, na ich granicy obserwujemy zjawiska odbicia i transmisji (tj. przechodzenia przez granicę) fal sprężystych.

Wzory na współczynniki odbicia \(R\) i transmisji \(T\) mocy fali odbitej i transmitowanej przez granice ośrodków fali padającej na ośrodek pod kątem \(\alpha\), wynoszą

\(\displaystyle{R=\left ( \frac{Z_1\cos \beta-Z_2\cos \alpha}{Z_1\cos \beta+Z_2\cos \alpha} \right )^2}\)

\(\displaystyle{T=\frac{4Z_1Z_2\cos \beta\cos \alpha}{\left  ( Z_1\cos \beta+Z_2\cos \alpha \right )^2} }\)

gdzie \(Z_1=\rho_1 c_1\), \(Z_2=\rho_2 c_2\); \(c\) - prędkość fazowa fali w ośrodku, \(\rho\) - gęstość ośrodka, \(\alpha\) - kąt padania, \(\beta\) - kąt załamania fali.

Informacja

Postaraj się samodzielnie rozwiązać zadanie. Możesz sprawdzić swój tok rozumowania, klikając w przyciski odsłaniające kolejne etapy proponowanego rozwiązania lub sprawdź od razu odpowiedź.

Dane i szukane

Dane:
- moc fali \(P=0,4 \,\mathrm{W}\),
- gęstość powietrza \(\displaystyle{\rho_1=1,3 \,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\),
- prędkość fazowa fali w powietrzu \(\displaystyle{c_1=332 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\),
- gęstość wody \(\displaystyle{\rho_2=1000 \,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\),
- prędkość fazowa fali w wodzie \(\displaystyle{c_2=1500 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}\).

Szukane:
- część mocy przechodzącej pod wodę \(W_T\),
- część mocy odbitej od powierzchni wody \(W_R\).

Analiza sytuacji

Dla fali padającej pod kątem \(\alpha\) na granicę dwóch ośrodków możemy zapisać zależności na współczynniki odbicia i transmisji jako

\(\displaystyle{R=\left ( \frac{Z_1\cos \beta-Z_2\cos \alpha}{Z_1\cos \beta+Z_2\cos \alpha} \right )^2}\)

\(\displaystyle{T=\frac{4Z_1Z_2\cos \beta\cos \alpha}{\left  ( Z_1\cos \beta+Z_2\cos \alpha \right )^2} }\)

 W treści zadania podano, że monochromatyczna fala pada pod kątem prostopadłym do powierzchni wody. Podane powyżej wzory uprościmy więc do postaci

\(\displaystyle{R=\left ( \frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2} \right )^2=\left ( \frac{\rho_1c_1-\rho_2c_2}{\rho_1c_1+\rho_2c_2} \right )^2  }\)

\(\displaystyle{T=\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}= \frac{4\rho_1c_1\rho_2c_2}{(\rho_1c_1+\rho_2c_2)^2}  }\)

Rozwiązanie

Po podstawieniu wartości liczbowych, otrzymujemy

\(\displaystyle{R=\left ( \frac{1,3\cdot 332-1000\cdot 1500}{1,3\cdot 332+1000\cdot 1500} \right )^2=0,99885  }\)

\(\displaystyle{T= \frac{4\cdot 1,3\cdot 332 \cdot 1000\cdot 1500}{(1,3\cdot 332+1000\cdot 1500)^2}=0,00115  }\)

Odpowiednie wartości mocy wynoszą:
- moc energii odbitej wynosi \(W_R=0,4\cdot 0,99885=0,39954\,\mathrm{W}\),
- moc energii przenoszonej do wody ma wartość \(W_T=0,4\cdot 0,00115=0,00046\,\mathrm{W}\).

Otrzymaliśmy zaskakujący wynik: tylko około jednego promila energii fali akustycznej padającej prostopadle na powierzchnię wody jest transportowane do wody, a cała reszta jest odbijana i wraca do powietrza.

Odpowiedź

Odpowiednie wartości mocy wynoszą:
- moc energii odbitej wynosi \(W_R=0,39954\,\mathrm{W}\),
- moc energii przenoszonej do wody ma wartość \(W_T=0,00046\,\mathrm{W}\).