Zadanie 6.7.2.1
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.7. Transport energii i inne problemy
  4. 6.7.2. Trening
  5. Zadanie 6.7.2.1

 Zadanie 6.7.2.1

Moc i intensywość fali
Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości \(\displaystyle{8000\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\) i polu przekroju poprzecznego \(4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \) ma następujące parametry: amplituda \(4\cdot 10^{-5}\,\mathrm{m} \), długość fali \(2\,\mathrm{m} \), okres \(0,25\,\mathrm{ms} \). Ile wynosi średnia moc i chwilowa intensywność tej fali?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- gęstość pręta \(\displaystyle{\rho=8000\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}}\),
- pole przekroju poprzecznego pręta \(S=4\cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \),
- amplituda fali \(A=4\cdot 10^{-5}\,\mathrm{m} \),
- długość fali \(\lambda=2\,\mathrm{m} \),
- okres \(T=0,25\,\mathrm{ms} \).

Szukane:
- średnia moc fali \(\left \langle \Delta P \right \rangle\),
- chwilowa intensywność fali \(I(x,t)\).

Odpowiedź

Średnia moc fali wynosi \(\left \langle \Delta P \right \rangle=1,3\,\mathrm{kW}\), natomiast chwilowa intensywność przyjmuje postać \(\displaystyle{I(x,t)=6,46\cdot 10^{7}\sin^2 (8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{\frac{W}{m^2}} }\).

Polecenie

Zapisz równanie fali oraz wyznacz równanie opisujące prędkość tej fali. Wybierz jeden zestaw prawidłowych równań, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(u(x,t)=4\cdot 10^{-5}\cos(8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{m}\)

\(\displaystyle{v(x,t)=-0,32\pi\sin (8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(u(x,t)=8\cdot 10^{3}\cos(4\cdot 10^{-4}\pi t-2 x)\,\mathrm{m}\)

\(\displaystyle{v(x,t)=-3,2\pi\sin (4\cdot 10^{-4}\pi t-2 x)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Aby zapisać równanie fali musimy wyznaczyć prędkość kątową \(\omega\) oraz liczbę falową \(k\):

\(\displaystyle{\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,00025}=8000\pi\,\mathrm{\frac{rad}{s}} }\)

\(\displaystyle{k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{2}=\pi\,\mathrm{\frac{1}{m}} }\)

Równanie fali ma więc postać
\(u(x,t)=4\cdot 10^{-5}\cos(8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{m}\)

Równanie opisujące prędkość fali policzymy z pochodnej

\(\displaystyle{v(x,t)=\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left [ 4\cdot 10^{-5}\cos(8000\pi t-\pi x)\right ] }\)

\(\displaystyle{v(x,t)=-4\cdot 10^{-5}\cdot 8\cdot 10^{3}\pi\sin (8000\pi t-\pi x) }\)

\(\displaystyle{v(x,t)=-0,32\pi\sin (8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Polecenie

Oblicz średnią moc fali. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\left \langle \Delta P \right \rangle=13\,\mathrm{W}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\left \langle \Delta P \right \rangle=130\,\mathrm{W}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\left \langle \Delta P \right \rangle=1,3\,\mathrm{kW}\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\left \langle \Delta P \right \rangle=13\,\mathrm{kW}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Średnią moc liczymy ze wzoru

\(\displaystyle{\left \langle \Delta P \right \rangle=\frac{1}{2}\rho\cdot S\cdot c\cdot (\omega\cdot A)^2}\)

gdzie występuje prędkość fazowa fali. Łatwo jest ją policzyć z postaci fali i wynosi ona

\(\displaystyle{c=\frac{\omega}{k}=\frac{8\cdot 10^3\pi}{\pi}=8000\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Średnia moc wynosi

\(\displaystyle{\left \langle \Delta P \right \rangle=\frac{1}{2}\cdot 8000\cdot 4\cdot 10^{-4}\cdot 8000\cdot (8000\pi\cdot 4\cdot 10^{-5})^2}\)

\(\left \langle \Delta P \right \rangle=1310,72\,\mathrm{W}\)

\(\left \langle \Delta P \right \rangle=1,3\,\mathrm{kW}\)

Polecenie

Wyznacz chwilową intensywność fali. Wybierz jedno prawidłowe równanie, spośród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{I(x,t)=6,46\cdot 10^{7}\cos^2 (8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{\frac{W}{m^2}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{I(x,t)=6,46\cdot 10^{7}\sin^2 (8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{\frac{W}{m^2}} }\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Chwilową intensywnością fali obliczamy z zależności

\(I(x,t)=\rho\cdot c\cdot v^2(x,t)\)

Elementy tego równania wyznaczyliśmy w poprzednim etapie rozwiązania. Otrzymaliśmy

\(\displaystyle{c=\frac{8\cdot 10^3\pi}{\pi}=8000\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

\(\displaystyle{v(x,t)=-0,32\pi\sin (8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Po podstawieniu do wzoru, mamy

\(I(x,t)=8000\cdot 8000\cdot (-0,32\pi)^2\sin^2 (8000\pi t-\pi x)\)
 
\(\displaystyle{I(x,t)=6,46\cdot 10^{7}\sin^2 (8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{\frac{W}{m^2}} }\)

Odpowiedź

Średnia moc fali wynosi \(\left \langle \Delta P \right \rangle=1,3\,\mathrm{kW}\), natomiast chwilowa intensywność przyjmuje postać \(\displaystyle{I(x,t)=6,46\cdot 10^{7}\sin^2 (8000\pi t-\pi x)\,\mathrm{\frac{W}{m^2}} }\).