Zadanie 6.7.2.2
  1. Kurs obliczeniowy z fizyki
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.7. Transport energii i inne problemy
  4. 6.7.2. Trening
  5. Zadanie 6.7.2.2

 Zadanie 6.7.2.2

Prędkości fali w strunie
Poprzeczna fala monochromatyczna o równaniu \(u(x,t)=A\cos(\omega t-kx+\varphi)\) biegnie wzdłuż napiętej struny. Wyznacz stosunek maksymalnej prędkości cząsteczek struny do prędkości fazowej tej fali.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- równanie fali \(u(x,t)=A\cos(\omega t-kx+\varphi)\).

Szukane:
- stosunek maksymalnej prędkości cząsteczek struny do prędkości fazowej tej fali \(\displaystyle{ \frac{v_m}{c} }\).

Odpowiedź

Stosunek maksymalnej prędkości cząsteczek struny do prędkości fazowej fali wynosi \(\displaystyle{\frac{v_m}{c}=\frac{2\pi A}{\lambda} }\).

Polecenie

Wyznacz stosunek maksymalnej prędkości cząsteczek struny do prędkości fazowej tej fali. Wybierz jedną prawidłową odpowiedź, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{\frac{v_m}{c}=\frac{\lambda A}{2\pi} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{\frac{v_m}{c}=\frac{2\pi A}{\lambda} }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{\frac{v_m}{c}=\frac{\lambda \omega}{2\pi} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{\frac{v_m}{c}=\frac{2\pi}{\lambda \omega} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Prędkość fazowa tej fali wynosi

\(\displaystyle{c=\frac{\omega}{k}=\frac{\omega}{\frac{2\pi}{\lambda}}=\frac{\omega\lambda}{2\pi}  }\)

Prędkość cząsteczek liczymy ze wzoru

\(\displaystyle{v(x,t)=\frac{\partial u(x,t) }{\partial t}=-\omega A\sin(\omega t-kx+\varphi)   }\)

Maksymalna wartość tej prędkości wynosi \(v_m=\omega A\)
Szukany iloraz jest równy

\(\displaystyle{\frac{v_m}{c}= \frac{\omega A}{\frac{\omega}{k}}=\frac{\omega A 2\pi}{\omega\lambda}   }\)

\(\displaystyle{\frac{v_m}{c}=\frac{2\pi A}{\lambda} }\)

Widać, że przy danych wartościach, stosunek ten nie zależy od rodzaju materiału struny.

Odpowiedź

Stosunek maksymalnej prędkości cząsteczek struny do prędkości fazowej fali wynosi \(\displaystyle{\frac{v_m}{c}=\frac{2\pi A}{\lambda} }\).