Zadanie 6.7.2.3
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.7. Transport energii i inne problemy
  4. 6.7.2. Trening
  5. Zadanie 6.7.2.3

 Zadanie 6.7.2.3

Parametry fali
Fala monochromatyczna poprzeczna biegnie wzdłuż struny. Przemieszczenie punktów struny w pobliżu \(x=0,2\,\mathrm{m}\) zależy od czasu w następujący sposób \(u(x=0,2\, ,t)=0,05\sin(1-4t)\) (w SI). Wyznacz prędkość fazowa tej fali, długość i równanie fali.

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- równanie fali w wybranym położeniu \(u(x=0,2\, ,t)=0,05\sin(1-4t)\) (w SI),
- położenie fragmentu struny \(x=0,2\,\mathrm{m}\),

Szukane:
- prędkość fazowa fali \(c\),
- długość fali \(\lambda\),
- równanie fali.

Odpowiedź

Prędkość fazowa fali wynosi \(\displaystyle{c=0,8\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\), długość fali ma wartość \(\lambda=1,256\,\mathrm{m}\), natomiast równanie fali ma postać \(u(x,t)=0,05\sin(5x-4t)\) (w SI).

Polecenie

Oblicz prędkość fazowa fali. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród czterech przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 4

\(\displaystyle{c=0,2\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 4

\(\displaystyle{c=0,4\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 3 z 4

\(\displaystyle{c=0,6\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 4 z 4

\(\displaystyle{c=0,8\,\mathrm{\frac{m}{s}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Prędkość fazowa fali możemy obliczyć z zależności

\(\displaystyle{c= \frac{\omega}{k} }\)
 
Prędkość kątową odczytujemy z podanego równania \(u(x=0,2\, ,t)=0,05\sin(1-4t)\)

\(\displaystyle{\omega=4\,\mathrm{\frac{rad}{s}} }\)

Wiemy, że wartość iloczynu \(k\cdot x=1\) (z równania podanego w treści) i stąd mamy

\(\displaystyle{k=\frac{1}{x}=\frac{1}{0,2}=5\,\mathrm{m^{-1}} }\)

Teraz już możemy obliczyć wartość prędkości fazowej

\(\displaystyle{c= \frac{4}{5}=0,8\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\)

Polecenie

Oblicz długość fali. Wybierz jedną prawidłową wartość, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\lambda=0,4\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\lambda=1,256\,\mathrm{m}\)

Odpowiedź prawidłowa

Rozwiązanie

Długość fali obliczamy z zależności (wartość \(k\) wyznaczyliśmy powyżej)

\(\displaystyle{\lambda= \frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{5}=0,4\pi }\)

\(\lambda=1,256\,\mathrm{m}\)

Polecenie

Wyznacz równanie fali. Wybierz jedno prawidłowe równanie, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(u(x,t)=0,05\sin(5x-4t)\) (w SI)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(u(x,t)=0,05\sin(0,2x-4t)\) (w SI)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Równanie fali ma postać \(u(x,t)=A\sin(kx-\omega t)\). Amplitudę fali i prędkość kątową mamy podaną w treści zadania, a w  poprzednich krokach rozwiązania wyznaczyliśmy liczbę falową \(k=5\,\mathrm{m^{-1}}\). Możemy więc teraz zapisać

\(u(x,t)=0,05\sin(5x-4t)\) (w SI)

Odpowiedź

Prędkość fazowa fali wynosi \(\displaystyle{c=0,8\,\mathrm{\frac{m}{s}} }\), długość fali ma wartość \(\lambda=1,256\,\mathrm{m}\), natomiast równanie fali ma postać \(u(x,t)=0,05\sin(5x-4t)\) (w SI).