Zadanie 6.7.2.4
  1. Ewa Frączek. Kurs obliczeniowy z fizyki.
  2. 6. Drgania i fale
  3. 6.7. Transport energii i inne problemy
  4. 6.7.2. Trening
  5. Zadanie 6.7.2.4

 Zadanie 6.7.2.4

Fala w strunie
Jednorodna struna o masie \(m\) i długości \(L\) zwisa pionowo w dół. Do tej struny podwieszono masę \(M\). Ile wynosi prędkość fali poprzecznej w tej strunie w punkcie w odległości \(y\) od dolnego końcu? Ile wynosi czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny?

Informacja

Możesz zobaczyć odpowiedź klikając w przycisk "Odpowiedź" lub sprawdzać kolejne etapy rozwiązania, wybierając prawidłowe odpowiedzi. W rozwiązaniu znajdziesz wskazówki, obliczenia i objaśnienia.

Dane i szukane

Dane:
- masa struny \(m\),
- masa ciała podwieszonego do struny \(M\),
- długość struny \(L\),
- odległości od dolnego końcu struny \(y\),
- przyspieszenie ziemskie \(g\).

Szukane:
- prędkość fali poprzecznej w tej strunie w punkcie w odległości \(y\) od dolnego końcu \(c\),
- czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny \(t(L)\).

Odpowiedź

Prędkość fali poprzecznej w tej strunie w punkcie w odległości \(y\) od dolnego końcu wynosi \(\displaystyle{c=\sqrt{yg+\frac{Mg}{\rho}} }\), natomiast czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny ma postać \(\displaystyle{t(L)=\frac{2}{\sqrt{g}}\left (\sqrt{L+\frac{M}{\rho}}-\sqrt{\frac{M}{\rho}}\right ) }\).

Polecenie

Wyznacz prędkość fali poprzecznej w tej strunie w punkcie w odległości \(y\) od dolnego końcu. Wybierz jedną prawidłową zależność, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{c=\sqrt{yg+\frac{Mg}{\rho}} }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{c=\sqrt{yg+\frac{g}{M}} }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Na element struny \(\Delta m\) odległy o \(y\) od dolnego jej końca działa siła \(q(y)\) będąca ciężarem struny o długości \(y\), której wartość wynosi  \(q(y) = \rho \cdot y\cdot g\), gdzie \(\displaystyle{\rho=\frac{m}{L} }\) oraz ciężar podwieszonej masy \(Q = Mg\). Zatem prędkość fazowa fali jest dana wzorem

\(\displaystyle{c=\sqrt{\frac{q(y)+Q}{\rho}}=\sqrt{\frac{\rho yg+Mg}{\rho}} }\)

\(\displaystyle{c=\sqrt{yg+\frac{Mg}{\rho}} }\)

Polecenie

Wyznacz czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny. Wybierz jedną prawidłową zależność, wśród dwóch przedstawionych poniżej.

Wybór 1 z 2

\(\displaystyle{t(L)=\frac{2}{\sqrt{g}}\left (\sqrt{L+\frac{M}{\rho}}-\sqrt{\frac{M}{\rho}}\right ) }\)

Odpowiedź prawidłowa

Wybór 2 z 2

\(\displaystyle{t(L)=\frac{2}{\sqrt{g}}\left (\sqrt{\frac{L}{\rho}}+\sqrt{L+\frac{M+L}{\rho}}\right ) }\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Rozwiązanie

Czas potrzebny na przebycie odległości \(L\) wyznaczymy sumując czasy \(\mathrm{d}t\), jakie są potrzebne fali na przebycie elementu o długości \(\mathrm{d}y\), który jest dany wzorem

\(\displaystyle{\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}y }{c(y)}=\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{yg+\frac{Mg}{\rho}} }  }\)

Tak więc całkowity czas \(t(L)\) jest sumą powyższych odcinków czasu, tj.

\(\displaystyle{t(L)=\int_{0}^{L}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{yg+\frac{Mg}{\rho}} }}\)

\(\displaystyle{t(L)=\frac{1}{\sqrt{g}}\int_{0}^{L}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{y+\frac{M}{\rho}} }}\)

\(\displaystyle{t(L)=\frac{1}{\sqrt{g}}2\left [ \sqrt{y+\frac{M}{\rho}} \right ]_0^L  }\)

\(\displaystyle{t(L)=\frac{2}{\sqrt{g}}\left (\sqrt{L+\frac{M}{\rho}}-\sqrt{\frac{M}{\rho}}\right ) }\)

Odpowiedź

Prędkość fali poprzecznej w tej strunie w punkcie w odległości \(y\) od dolnego końcu wynosi \(\displaystyle{c=\sqrt{yg+\frac{Mg}{\rho}} }\), natomiast czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny ma postać \(\displaystyle{t(L)=\frac{2}{\sqrt{g}}\left (\sqrt{L+\frac{M}{\rho}}-\sqrt{\frac{M}{\rho}}\right ) }\).